วันเสาร์, 17 ตุลาคม 2558 09:21 by math06
สำหรับหัวข้อนี้นั้น จะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่
1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ

การแก้อสมการกำลังหนึ่ง

อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ

ax \le b
ax < b
ax \ge b
ax > b

โดยที่เราจะกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น
การแก้อสมการกำลังสอง
หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก
สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์

การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน x หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ
Ax+bx+c  <  0
Ax+bx+c  \le  0
Ax+bx+c  >  0
Ax+bx+c   \ge   0
โดยกำหนดให้ x เป็นตัวแปร และ a,b,c เป็นค่าคงที่ ที่ a\neq 0

ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ

1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบ

และสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้

การแก้อสมการกำลัง 2

อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้
1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0
2. แยกตัวประกอบ
3. พิจารณาเครื่องหมาย +,-
4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน
ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x^2+10x \ge 8
วิธีทำ 3x^2+10x \ge 8
3x^2+10x-8 \ge 0 : จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0
 (x+4)(3x-2) \ge 0 : แยกตัวประกอบ

ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้
1. (+)(+) หรือ
2. (-)(-) หรือ

อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน

1. x+4 \ge 0 และ 3x-2 \ge 0
x \ge -4 และ x \ge \frac{2}{3}

9866

2.  x+4 \le 0 และ 3x-2 \le 0
 x \le -4 และ x \le \frac{2}{3}

9867

เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้

9868

ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ (-\infty,4]\bigcup [\frac{2}{3}, \infty)

วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก


การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ในสำหรับกรณีที่เพื่อนๆแก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้คะ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ

ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน x มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2 เท่ากับ 1

ax^2+bx+c \ge  0
ax^2+bx+c >  0
ax^2+bx+c  \le  0
ax^2+bx+c  <  0

ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ
\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2  \ge  0}
\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2  >  0}
\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2  \le  0}
\displaystyle{[x^2+bx+(\frac{b}{2})^2]+c-(\frac{b}{2})^2  <  0}
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ
\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2  \ge  0}
\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2  >  0}
\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2  \le 0}
\displaystyle{(x+\frac{b}{2})^2+c-(\frac{b}{2})^2  <  0}

น้องๆสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยนะคะ โดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3

เรามาดูตัวอย่างง่ายๆกันเพื่อให้เกิดความความใจกันค่ะ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมการ 3x^2-6x-4 \le 0
วิธีทำ นำ \frac{1}{3} คูณอสมการที่กำหนดให้
\displaystyle{x^2-2x-\frac{4}{3} \le  0}
\displaystyle{(x^2-2x+1) -\frac{4}{3} - 1  \le  0}
\displaystyle{(x-1)^2-\frac{7}{3} \le  0}
ดังนั้น \displaystyle{ - \frac{7}{3} \le x-1 \le \frac{7}{3}}
\displaystyle{1-\frac{7}{3} \le x \le 1 +\frac{7}{3}}
เพราะฉะนั้น เซตคำตอบของอสมการที่ได้จะเท่ากับ\displaystyle{(1-\frac{7}{3}, 1+\frac{7}{3})}

หมายเหตุ ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ด้านหน้าของ x^2ไม่เท่ากับ 1 ให้ทำให้เป็น 1 เสียก่อน




ที่มา:
http://writer.dek-d.com/dek-d/writer/viewlongc.php?id=308390&chapter=4

link วิทยาศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านวิทยาศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด

link คณิตศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านคณิตศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด
UNESCO Bangkok

ICT in Education newsletter

SEAMEO Congress

Programme with Presentations

Black Ribbon