วันพุธ, 28 ตุลาคม 2558 10:58 by math04
ในส่วนนี้เราจะพิสูจน์กฏของการหารบางข้อที่น่าสนใจ

ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้านำสองเท่าของเลขหลักสุดท้ายลบออกจากเลขที่เหลือ ได้พหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math» เป็นเลขหลักสุดท้ายและ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» เป็นเลขหลักอื่นๆที่เหลือ
ต้องการพิสูจน์ว่า ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ด้วย
เนื่องจาก «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mi»k«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม
จัดรูป จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math»
ดังนั้น «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«mi»b«/mi»«/math»
แต่ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math» นั่นคือ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ซึ่งก็คือ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ลงตัวนั่นเอง


ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้าสามหลักสุดท้ายเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1000«/mn»«mi»M«/mi»«mo»+«/mo»«mn»100«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เป็นเลขสามหลักสุดท้ายตามลำดับ และ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»M«/mi»«/math» เป็นเลขหลักอื่นๆที่เหลือ
ชัดเจนว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1000«/mn»«mi»M«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว เนื่องจาก «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1000«/mn»«mo»=«/mo»«mn»125«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»8«/mn»«/math»
ดังนั้น ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» หรือหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» จะหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัวด้วยนั่นเอง


ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้า alternating sum ของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ พิจารณา

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»10«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»11«/mn»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» --- (1)

จะเห็นว่าเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math»
เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math»
นำ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» บวกเข้าแล้วลบออก จากนั้น จัดรูป จะได้ว่า

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»



จาก (1) จะเห็นว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» จะเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» และ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» เป็น alternating sum ของเลขแต่ละหลักของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» (นำเลขแต่ละหลักของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» มาบวกลบสลับกันไปโดยให้หลักมากสุดเป็นบวก)
ดังนั้น ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» ซึ่งเป็น alternating sum นั้นเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» จะหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» ลงตัวนั่นเอง
วันพุธ, 28 ตุลาคม 2558 06:23 by math04

link วิทยาศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านวิทยาศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด

link คณิตศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านคณิตศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด
UNESCO Bangkok

ICT in Education newsletter

SEAMEO Congress

Programme with Presentations

Black Ribbon