• Category
    คณิตศาสตร์
  • Name
    ลำดับ
  • Description
    ลำดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น a_1, a_2, a_3, \ldots โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น
  • Created
    วันเสาร์, 17 ตุลาคม 2558
  • Group admin
    math06
 
ห้องเรียน
คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา
ค้นหา
  • loader
คลับ (Club) ล่าสุด
  • การค้นพบกฎและทฤษฎีทางฟิสิกส์ (Discovery Law and Theory of Physics)
    ฟิสิกส์เป็นการศึกษาปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ โดยพยายามอธิบายปรากฎการณ์ต่างๆ โดยใช้กฎและทฤษฎีที่นักฟิสิกส์สร้างขึ้น กฎและทฤษฎีต่างๆ จะถูกพิสูจน์ด้วยการทดลอง การเข้าใจแนวคิดและที่มาของกฎและทฤษฎีเหล่านั้น จะทำให้เราเข้าใจธรรมชาติมากขึ้น และทำให้เราเข้าใจวิธีคิดของนักฟิสิกส์ด้วย...
  • ความหลากหลายทางชีวภาพ
    สิ่งมีชีวิตมีมากหมายหลายชนิดเเตกต่างกัน ดังนั้นการจัดลำดับสิ่งมีชีวิตในโลกของเราใช้หลักเกณฑ์ใดบ้างมาเรียนรู้กัน
  • What Companies Bangalore Packers Movers Provide
    There are lots of going businesses or maybe removal businesses or perhaps packers as well as movers inside Bangalore, Maharashtra. This sort of firms are encouraging people significantly inside relocation. These are helping those who wish to shift their particular residences as well as offices...
  • ห้องเรียนคณิตศาสตร์ของครูศุภกร
    ห้องเรียนคณิตศาสตร์ของครูศุภกร สอนดี Mathematics rules
  • คลับคนรักคณิต
    คลับคนรักคณิต เนื้อหาและบทเรียน CAI วิชาคณิตศาสตร์ สำหรับผู้ที่นิยมศึกษาผ่านช่องทางอินเตอร์เน็ต พูดคุย และแลกเปลี่ยนกันทุกเรื่องราวที่เกี่ยวกับการคำนวณ เชิญรับชมบทเรียน e-Learning ของคลับนี้ได้ครับ
  • smith mekpiboonwattana
    เรขาคณิตเป็นวิชาด้วยการวัดดิน การคำนวณด้วยเส้น
คนที่ออนไลน์

มี 930 ผู้มาเยือน และ ไม่มีสมาชิกออนไลน์ ออนไลน์

There are no discussions yet.

วันเสาร์, 17 ตุลาคม 2558 09:30 by math06
ถ้าน้อง ๆ เคยเห็นข้อสอบวัดไอคิว อาจเคยเห็นข้อสอบ ประเภทให้ตัวเลขมา 3-4 ตัว แล้วถามว่า ตัวเลขถัดไปจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 7, .... แล้วตัวต่อไปจะเป็นอะไร จากนั้นก็จะมีการพัฒนาข้อสอบเป็น ลำดับรูปภาพต่าง ๆ ให้ได้คิดกัน นอกจากนี้ ในชีวิตประจำวัน ยังคุ้นเคยกับคำว่า ลำดับ คือ การเรียงกันของสิ่งของ หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ

ลำดับตัวเลข คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น a_1, a_2, a_3, \ldots โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น

ตัวอย่างเช่น

1, 3, 5, 7, \ldots และ 2, 4, 8, 16, \ldots

จากตัวอย่างที่ 1 เลขลำดับที่ 1 คือ 1, ลำดับที่ 2 คือ 3, ลำดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (a_n) คือ 2n -1 ได้อย่างไม่ยาก

ส่วนตัวอย่างที่ 2 เลขลำดับที่ 1 คือ 2, ลำดับที่ 2 คือ 4, ลำดับที่ 3 คือ 8, . . ., แล้ว เราสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (a_n) คือ 2^n ได้อย่างไม่ยากเช่นกัน

การเขียนแทนลำดับนอกจาก a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots หรือ \{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\} แล้ว เรายังสามารถเขียนได้ในรูป \{ a_n \}^{\infty}_{n=1} หรือ \{a_n\} เรียกว่า “Bracket notation” ซึ่งแทนลำดับที่มีพจน์ทั่วไป เป็น a_n

เรียก a_1 ว่าพจน์ ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a_2 ว่าพจน์ ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a_3 ว่าพจน์ ที่ 3 ของลำดับ
......................................................
เรียก a_n ว่าพจน์ ที่ n ของลำดับ

จะเห็นได้ว่าลำดับเป็นเซตของจำนวนที่เรียงลำดับกันภายใต้กฎเกณฑ์ อย่างใดอย่างหนึ่งร่วมกัน ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนจำกัด เรียกว่า ลำดับจำกัด ( Finite Sequence ) ลำดับที่มีจำนวนพจน์ ไม่จำกัด เรียกว่า ลำดับอนันต์ ( Infinite Sequence )

การกำหนดลำดับหนึ่ง มักจะบอกโดยสูตร สำหรับพจน์ที่ n ในลำดับนั้น เช่น ลำดับ 2,4,6,8,\ldots อาจจะบอกโดย 2,4,6,8,\ldots,2n,\ldots เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือเขียนให้กระชับขึ้นโดยใช้สัญลักษณ์ \{2n\}^{+\infty}_{n=1}ในสัญลักษณ์ นี้ แต่ละพจน์เกิดจากการแทนจำนวนเต็ม n = 1,2,3,\ldots ลงในสูตร 2n

ตัวอย่าง 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ \{2^n\}^{+\infty}_{n=1}
วิธีทำ แทน n=1,2,3,4,5 ลงในสูตร 2^n ได้
2^1,2^2,2^3,2^4,2^5,\ldots หรือ 2,4,8,16,,32,\ldots

ตัวอย่าง 2 จงเขียนลำดับต่อนี้ในรูป Bracket notation 
(ก) \displaystyle{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots}
ตอบ\displaystyle{\{\frac{n}{n+1}\}}
(ข) \displaystyle{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\ldots}
ตอบ\displaystyle{\{\frac{1}{2^n}\}}
(ค) 1,-1,1,-1,\ldots
ตอบ\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\}}
(ง) \displaystyle{\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},-\frac{4}{5},\ldots}
ตอบ\displaystyle{\{(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}\}}
(จ) 1,3,5,7,\ldots
ตอบ\{2n-1\}



ข้อสังเกต อักษร a และ n อาจจะใช้ตัวอักษร อื่นแทนได้ เช่น a_n อาจจะแทนด้วย b_k ก็ได้ จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเห็นว่าในการเขียนลำดับ
2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots หรือ \{2^n\}^{+\infty}_{n=1} (1)
เป็นการกำหนดความเกี่ยวข้องระหว่างจำนวน 2^n และจำนวนเต็มบวก n ซึ่งกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า\{2^n\}^{+\infty}_{n=1} เป็นสูตรสำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระคือ n แปรค่าบนจำนวนเต็มบวก ดังนั้น อาจจะเขียน (1) ในรูปฟังก์ชันเป็น f(n) = 2^n , n=1,2,3,\ldots และ 2,4,8,16,32,\ldots,2^n,\ldots แทนฟังก์ชัน f(1),f(2),f(3),\ldots,f(n),\ldots

เนื่องจากทุกลำดับมีโดเมน คือ เซตของจำนวนเต็มบวกเหมือนกัน ดังนั้น ต่อไปจะเขียน \{a_n\} แทน\{a_n\}^{+\infty}_{n=1} หรือ \{f(n)\} แทน \{f(n)\}^{+\infty}_{n=1}

ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) คือ ลำดับที่ไม่มีจุดจบ เช่น ลำดับของจำนวนนับ 1, 2, 3, ...
ลำดับจำกัด (Finite Sequence) คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์จำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับหน้าของหนังสือเล่มหนึ่ง

ลำดับชนิดพิเศษ

1) ลำดับเลขคณิต (Arithmetic sequence)
ลำดับเลขคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง จากพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าต่างคงที่ เรียกว่า ผลต่างร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 3, 6, 9, 12, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต เพราะ มีผลต่างร่วม = 3 = 12 -9 = 9 -6 = 6 -3
ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1, และพจน์ที่  i ด้วย a_i
เราจะได้ว่า a_i = a_1 + 3(i-1) = 3+ (3i-3) = 3i

ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 + d(i -1) เมื่อ d แทนผลต่างร่วมของลำดับนี้

2) ลำดับเรขาคณิต (Geometric sequence)
ลำดับเรขาคณิต เป็น ลำดับเลขที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเพิ่มขึ้น หรือลดลง โดยการคูณพจน์หน้าที่ติดกัน ด้วยค่าคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วมของลำดับ
ตัวอย่างเช่น 2, 4, 8, 16, . . .

เราทราบว่าลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะ มีอัตราส่วนร่วม = 2 = 4 / 2 = 8 / 4 = 16 / 8

ถ้าเราแทนพจน์แรกด้วย a_1, และพจน์ที่ i ด้วย a_i
เราจะได้ว่า a_i = a_1 2^{(i-1)} =  2(2^{(i-1)})  =  2^{i}

ดังนั้นเราจึงมีสูตรว่า a_i = a_1 r^{(i-1)} เมื่อ r แทนอัตราส่วนร่วมของลำดับนี้




link วิทยาศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านวิทยาศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด

link คณิตศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านคณิตศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด
UNESCO Bangkok

ICT in Education newsletter

SEAMEO Congress

Programme with Presentations

Black Ribbon