กฎของการหาร (Divisibility Rules)

  • Category
    คณิตศาสตร์
  • Name
    กฎของการหาร (Divisibility Rules)
  • Description
    ในส่วนนี้เราจะพูดถึงกฎการหารจำนวนเต็มง่ายๆ รวมทั้งการพิสูจน์บางทฤษฎีบท
  • Created
    วันพุธ, 28 ตุลาคม 2558
  • Group admin
    math04
 
ห้องเรียน
คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา
ค้นหา
  • loader
คลับ (Club) ล่าสุด
  • การค้นพบกฎและทฤษฎีทางฟิสิกส์ (Discovery Law and Theory of Physics)
    ฟิสิกส์เป็นการศึกษาปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ โดยพยายามอธิบายปรากฎการณ์ต่างๆ โดยใช้กฎและทฤษฎีที่นักฟิสิกส์สร้างขึ้น กฎและทฤษฎีต่างๆ จะถูกพิสูจน์ด้วยการทดลอง การเข้าใจแนวคิดและที่มาของกฎและทฤษฎีเหล่านั้น จะทำให้เราเข้าใจธรรมชาติมากขึ้น และทำให้เราเข้าใจวิธีคิดของนักฟิสิกส์ด้วย...
  • ความหลากหลายทางชีวภาพ
    สิ่งมีชีวิตมีมากหมายหลายชนิดเเตกต่างกัน ดังนั้นการจัดลำดับสิ่งมีชีวิตในโลกของเราใช้หลักเกณฑ์ใดบ้างมาเรียนรู้กัน
  • What Companies Bangalore Packers Movers Provide
    There are lots of going businesses or maybe removal businesses or perhaps packers as well as movers inside Bangalore, Maharashtra. This sort of firms are encouraging people significantly inside relocation. These are helping those who wish to shift their particular residences as well as offices...
  • ห้องเรียนคณิตศาสตร์ของครูศุภกร
    ห้องเรียนคณิตศาสตร์ของครูศุภกร สอนดี Mathematics rules
  • คลับคนรักคณิต
    คลับคนรักคณิต เนื้อหาและบทเรียน CAI วิชาคณิตศาสตร์ สำหรับผู้ที่นิยมศึกษาผ่านช่องทางอินเตอร์เน็ต พูดคุย และแลกเปลี่ยนกันทุกเรื่องราวที่เกี่ยวกับการคำนวณ เชิญรับชมบทเรียน e-Learning ของคลับนี้ได้ครับ
  • smith mekpiboonwattana
    เรขาคณิตเป็นวิชาด้วยการวัดดิน การคำนวณด้วยเส้น
คนที่ออนไลน์

มี 911 ผู้มาเยือน และ ไม่มีสมาชิกออนไลน์ ออนไลน์

There are no discussions yet.

วันพุธ, 28 ตุลาคม 2558 10:58 by math04
ในส่วนนี้เราจะพิสูจน์กฏของการหารบางข้อที่น่าสนใจ

ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้านำสองเท่าของเลขหลักสุดท้ายลบออกจากเลขที่เหลือ ได้พหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math» เป็นเลขหลักสุดท้ายและ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» เป็นเลขหลักอื่นๆที่เหลือ
ต้องการพิสูจน์ว่า ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ด้วย
เนื่องจาก «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mi»k«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»k«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม
จัดรูป จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»-«/mo»«mn»20«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math»
ดังนั้น «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«mi»b«/mi»«/math»
แต่ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/math» นั่นคือ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»70«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»21«/mn»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mi»k«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»b«/mi»«mo»)«/mo»«/math»
จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ซึ่งก็คือ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»7«/mn»«/math» ลงตัวนั่นเอง


ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้าสามหลักสุดท้ายเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1000«/mn»«mi»M«/mi»«mo»+«/mo»«mn»100«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เมื่อ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»,«/mo»«mi»b«/mi»«mo»,«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เป็นเลขสามหลักสุดท้ายตามลำดับ และ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»M«/mi»«/math» เป็นเลขหลักอื่นๆที่เหลือ
ชัดเจนว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1000«/mn»«mi»M«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว เนื่องจาก «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1000«/mn»«mo»=«/mo»«mn»125«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»8«/mn»«/math»
ดังนั้น ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«mi»a«/mi»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mi»c«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» หรือหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัว จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» จะหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«/math» ลงตัวด้วยนั่นเอง


ทฤษฎีบท ให้ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นจำนวนเต็ม ถ้า alternating sum ของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» เป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» แล้ว «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» หารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» ลงตัว
พิสูจน์ พิจารณา

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»10«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»10«/mn»«mo»-«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»11«/mn»«mo»)«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» --- (1)

จะเห็นว่าเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math»
เขียน «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math»
นำ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» บวกเข้าแล้วลบออก จากนั้น จัดรูป จะได้ว่า

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»0«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»



จาก (1) จะเห็นว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»k«/mi»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» จะเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» และ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» เป็น alternating sum ของเลขแต่ละหลักของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» (นำเลขแต่ละหลักของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» มาบวกลบสลับกันไปโดยให้หลักมากสุดเป็นบวก)
ดังนั้น ถ้า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mi»k«/mi»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mi»k«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»+«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»+«/mo»«mo»(«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mo»)«/mo»«mn»1«/mn»«/msup»«msub»«mi»a«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«msub»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«/math» ซึ่งเป็น alternating sum นั้นเป็นพหุคูณของ «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» จะได้ว่า «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»N«/mi»«/math» จะหารด้วย «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»11«/mn»«/math» ลงตัวนั่นเอง
วันพุธ, 28 ตุลาคม 2558 06:23 by math04
View all announcements Displaying 2 of 2 announcements

link วิทยาศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านวิทยาศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด

link คณิตศาสตร์

รวม link ที่น่าสนใจทั้งในและต่างประเทศ เพื่อค้นคว้าหาข้อมูลที่ต้องการทางด้านคณิตศาสตร์

ดูลิงค์ทั้งหมด
UNESCO Bangkok

ICT in Education newsletter

SEAMEO Congress

Programme with Presentations

Black Ribbon