การแก้อสมการ

      บทนิยาม  อสมการ  คือ  ประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวน โดยมีสัญลักษณ์  <  , >  ,  ≤   ,  ≥     หรือ  ≠   แสดงความสัมพันธ์

สัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนสองจำนวน ได้แก่

     <           แทนความความสัมพันธ์                     น้อยกว่า

     >          แทนความความสัมพันธ์                      มากกว่า

     ≥          แทนความความสัมพันธ์                      มากกว่าหรือเท่ากับ

     ≤          แทนความความสัมพันธ์                      น้อยกว่าหรือเท่ากับ

     =          แทนความความสัมพันธ์                      เท่ากับ

     ≠          แทนความความสัมพันธ์                      ไม่เท่ากับ

ในทางคณิตศาสตร์ อสมการ เป็นประพจน์ที่เปรียบเทียบค่าระหว่างจำนวนจริงสองจำนวน

     ประพจน์ a < b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่า b หรือไม่ถึง b

     ประพจน์ a > b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่า b หรือเกิน b

     ประพจน์ a ≤ b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b หรือไม่เกิน

     ประพจน์ a ≥ b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ b หรือไม่น้อยกว่า

ตัวอย่าง    แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนในข้อต่อไปนี้

    7  >  3     แทนความสัมพันธ์    หก มากกว่า สาม

  - 5  <  5     แทนความสัมพันธ์    ลบห้า น้อยกว่า ห้า

  -15 >  -25   แทนความสัมพันธ์    ลบสิบห้า  มากกว่า  ลบยี่สิบห้า

 ตัวอย่าง    แสดงอสมการที่มีตัวแปรและไม่มีตัวแปร

                  7 + 3 <  12                เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร

                  3 + 5 ≠ 5                   เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร

                  3 + 1 < 9                   เป็นอสมการที่มี  x  เป็นตัวแปร

                  4 – 5 ≥ 18                  เป็นอสมการที่มี  x  เป็นตัวแปร

                  3y – z ≤  10                เป็นอสมการที่มีสองตัวแปรคือ  y  และ  z

                4y – 5 > 2y + 3             เป็นอสมการที่มีตัวแปรเดียวคือ  y

 ในการแก้อสมการนั้น มีหลักในการแก้อสมการโดยใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ดังต่อไปนี้ ได้แก่

1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

       การแก้อสมการ คือ การหาเซตคำตอบของสมการ ที่จะทำให้สมการเป็นจริงได้ ซึ่งเซตคำตอบของสมการอาจพิจารณาจากเซตของจำนวน ซึ่งอาจดูได้จากการใช้ช่วยมาตรวจสอบข้อมูล เซตคำตอบของสมการใน X ซึ่งมีความหมายถึง เซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง โดยที่จำนวนเหล่านี้เมื่อนำมาแทน x แล้ว ทำให้สมการเป็นจริง 

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

พิจารณาข้อมูลตัวอย่างต่อไปนี้

      1.ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 7  มากกว่า 3 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ  x + 7 > 3

      2.ผลบวกของสองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 7 ไม่น้อยกว่า 14 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ  2x + 7 ≥ 14

      3.ผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 30  ไม่เท่ากับ 40 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ  x - 30 ≥ 40

      4.สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่ง มากกว่า 20 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ 3x > 20

      5.ผลบวกของหกเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 10  น้อยกว่า  800 ซึ่งสามารถเขียนข้อความให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ คือ 6x + 10 < 800

       เมื่อเรานำคำตอบของอสมการเหล่านี้ไปพล็อตเป็นกราฟ กราฟที่ได้จะแสดงเป็นเส้นตรง เรียกว่า อสมการเชิงเส้น  หากมีตัวแปรเพียงตัวเดียว จะเรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1. จงแก้อสมการ x + 10 > 26

           พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ  x + 10 > 26    

                                                   x + 10 - 10 > 26 – 10  (ใช้คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                  จะได้ว่า                     x > 16

                    ดังนั้น   ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่ x > 16

2. จงแก้อสมการ x - 10 < 60

           พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ       x - 10 < 60

                                                      x – 10 + 10 < 60 + 10  (ใช้คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                            จะได้ว่า               x < 70

                               ดังนั้น   ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่   x < 70

3. จงแก้อสมการ x/3 > 60

           พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ             x/3 > 60

                                                             (x/3) (3) > 60 (3)  (ใช้คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                                               3x / 3   > 180

                                              จะได้ว่า             x   > 180

                                ดังนั้น   ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่    x   > 180

4. จงแก้อสมการ 3(x – 5) ≥ 60

           พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ 3(x – 5) ≥ 60     (คูณ 3 เข้าไปในวงเล็บ)

                                                         3x – 15 ≥ 60

                                     จะได้ว่า 3x – 15 + 15 ≥ 60 + 15 (ใช้คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                       จะได้ว่า              3x  ≥ 75

                                       จะได้ว่า         3x / 3  ≥ 75 / 3 (ใช้คุณสมบัติการหารด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                        จะได้ว่า                x ≥ 25

                               ดังนั้น  ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่      x ≥ 25

5. จงแก้อสมการ x/4 + 2 ≠ 3

                   พิจารณาจากโจทย์ของอสมการ  x/4 + 2 ≠ 3

                                              จะได้ว่า   x/4 + 2 - 2 ≠ 3 - 2 (ใช้คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                                                       x/4 ≠ 1

                                              จะได้ว่า        (x/4)4  ≠ 1(4)  (ใช้คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)

                                              จะได้ว่า               x ≠ 4

                           ดังนั้น  ค่าของ x ที่สอดคล้องอสมการเป็นจำนวนจริงที่      x ≠ 4

แหล่งที่มา

อสมการ. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://th.wikipedia.org/wiki/อสมการ

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://sites.google.com/site/mathbykruboo/home/xsmkar-cheing-sen-tawpaer-deiyw

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https://www.mathpaper.net/index.php/en/2012-12-20-16-07-59

อสมการ. สืบค้นเมื่อ 15 กุมภาพันธ์ 2562. จาก https:// https://www.goonone.com/inequality/567-กุญแจคณิตศาสตร์-แบบฝึกหัด-1-2-การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว.html