Archimedes

หาก มีคนถามคุณว่า เลขที่มากที่สุดที่คุณรู้จักคือเลขอะไร และเลขมากมีประโยชน์อย่างไร หรือเขาให้คุณคิดคำนวณเลข 200 หลัก เช่นให้แยกตัวประกอบ (factor) หรือคูณกัน หรือหารกัน คุณจะตอบได้ไหม คุณจะทำได้ไหม

นักคณิตศาสตร์กรีกและโรมันได้เคยคิดคำนึงถึงเรื่อง เลขมาก (large number) มาตั้งแต่สมัยโบราณ ในสมัยนั้น ตำราคณิตศาสตร์โรมันไม่มีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนที่เลขที่มีค่าเกิน 100,000 เลย Archimedes ก็เคยคิดว่า จำนวนเม็ดทรายที่เราต้องใช้ในการเติมจักรวาลให้เต็มคือ เลขที่มากที่สุดที่มนุษย์รู้จัก

ปัจจุบันเรารู้รัศมีวงโคจรของดาวพลูโตรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้นหากเราใช้ทรงกลมที่มีรัศมีขนาดนั้นแล้วใส่ทรายให้เต็ม เราจะต้องการทราย 10⁵¹ เม็ด (10⁵¹ = 10 คูณตัวเองซ้ำกัน 51 ครั้ง)

นักวิทยาศาสตร์ในยุคกลาง คือ สมัยคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้เริ่มเผชิญกับเลขมากเป็นครั้งแรกในเลข Avogadro (Avogadro's number) ซึ่งมีค่า 6.02 × 10²³ (เลขนี้บอกจำนวนอะตอมที่มีในถ่านบริสุทธิ์ที่หนัก 12 กรัม) มาถึงยุคปัจจุบัน นักฟิสิกส์ที่เชี่ยวชาญด้านอนุภาคมูลฐานคาดคะเนว่า จักรวาล (Universe) มีอนุภาคโปรตอนทั้งสิ้น 10⁸⁰ อนุภาค เป็นต้น

เพื่อให้เกิดความรู้สึกว่าเลขมากที่กล่าวถึงในที่นี้มีขนาดมหาศาลปานใด เราจะเปรียบเทียบเลขมากต่างๆ ให้เห็นเป็นรูปธรรมดังนี้

นักวิทยาศาสตร์คาดคะเนว่า จักรวาลมีอายุประมาณ 10¹⁰ ปี นี่คือเลข 1 ที่มี 0 ตามหลัง 10 ตัว เลข 11 หลักเช่นนี้ หากจะพิมพ์ลงกระดาษต้องการเนื้อที่ประมาณ 1/4 บรรทัด

หากเรากล่าวถึงเลข 10⁸⁰ ซึ่งเป็นจำนวนของอนุภาคโปรตอนในจักรวาล คือ เลข 1 ที่มี 0 ตามหลัง 80 ตัว เราต้องการพื้นที่เขียนประมาณ 2 บรรทัด

เลข 2^1,398,269 - 1 ซึ่งเป็นเลขเฉพาะ (prime number) ที่มีค่ามากที่สุด (เท่าที่รู้จักในปัจจุบัน) ต้องการพื้นที่เขียนตัวเลขทั้งหมดใหญ่

เท่าวารสารฉบับย่อมๆ 1 ฉบับ


เลข Fermat (F_n = 2²ⁿ + 1 ซึ่งมี n เป็นเลขจำนวนเต็ม หาก n มีค่าเท่ากับ 22, F₂₂ = 2²²² + 1 จะมีเลขที่มีตัวเลขกว่าหนึ่งล้าน


หลัก ในการเขียนเลข F₂₂ นี้ต้องใช้หนังสือหนา 400 หน้า 1 เล่ม จึงจะเขียนเลขจำนวนนี้ได้หมด

และหากเราต้องการเขียนเลข 10¹⁰³³ ให้เต็มรูปแบบ เราก็ต้องการกระดาษที่มีปริมาตรเท่าโลกจึงจะเขียนได้หมด

แล้วเลขมากเหล่านี้จะเข้ามาเกี่ยวข้องกับชีวิตเราๆ ในชาตินี้หรือชาติหน้าบ้างหรือไม่ คำตอบก็คือ คงไม่มาก นอกจากเราจะเป็นนักคณิตศาสตร์ หรือนักวิทยาศาสตร์

จะขอยกตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเลขมากดังนี้คือ นักสถิติได้คำนวณพบว่า หากจะให้ลิงตัวหนึ่งพิมพ์ดีดตลอดเวลา โดยที่ลิงพิมพ์ดีดไม่เป็น คือมันเพียงแต่กดแป้นพิมพ์เท่านั้น เราต้องคอยนานถึง 10^3,000,000 ปี ลิงตัวนั้นจึงจะพิมพ์นวนิยายเรื่อง The Hound of the Baskervilles ของ Sir Arthur Conan Doyle ได้ถูกทุกตัวอักษร (คงไม่ลืมกันว่า นับถึงวันนี้จักรวาลของเรามีอายุเพียง 10¹⁰ ปี)

ส่วนนักฟิสิกส์ก็พบว่า จะต้องใช้เวลานานถึง 10¹⁰³³ ปี แก้วเบียร์จึงจะล้มเองโดยไม่มีใครแตะต้อง และโอกาสที่อะตอมทุกอะตอมในตัวคนหนึ่งๆ จะพุ่งพาคนๆ นั้นไปถึงดาวอังคารมีค่า 1 ใน 10¹⁰⁵¹

หรือ J. Littlewood ก็ได้เคยคำนวณพบว่า โอกาสที่หนูตัวหนึ่งจะมีชีวิตอยู่บนดวงอาทิตย์ ได้นาน 1 สัปดาห์ มีค่า 1 ใน 10¹⁰⁴² เช่นนี้ เป็นต้น

คุณสมบัติข้อหนึ่งของเลขมากที่นักคณิตศาสตร์สนใจ คือ การที่เลขมากสามารถแยกเป็นตัวประกอบได้

เราทุกคนคงรู้จักเลขเฉพาะ (prime number) ว่าเป็นเลขจำนวนเต็มที่ตัวมันเองและเลข 1 เท่านั้นที่หารมันได้ลงตัว ดังนั้น ตามคำจำกัดความนี้ เลขเฉพาะจึงได้แก่เลข 2, 3, 5, 7,11 ... แต่เลข 15 ซึ่งเท่ากับ 3 × 5 ก็ไม่เป็นเลขเฉพาะ เพราะทั้ง 3 และ 5 ต่างก็หาร 15 ได้ เราจึงเรียก 3 และ 5 ว่าเป็นตัวประกอบของ 15

ปัญหาหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์สนใจ คือ เขาต้องการจะรู้ว่าโลกนี้มีเลขเฉพาะอะไรบ้าง และเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดคือเลขอะไร และเรามีสูตรสำเร็จที่จะใช้หาเลขเฉพาะได้ทุกเลขหรือไม่

สำหรับคำถามที่ว่า เลขเฉพาะมีกี่จำนวนนั้น Euclid ได้เคยพิสูจน์ไว้เมื่อ 2,300 ปีก่อนนี้ว่า เลขเฉพาะมีจำนวนมากนับไม่ถ้วน (Infinite)

แล้วสูตรที่จะใช้คำนวณหาเลขเฉพาะนั้นเล่า นักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่มีสูตรสำเร็จที่จะใช้หาเลขเหล่านี้เลย ในอดีต P. Fermat ได้เคยคิดว่า

สูตร F_n = 2²ⁿ + 1 จะบอกให้เรารู้ว่า เลขเฉพาะมีเลขอะไรบ้าง และเมื่อเราแทนค่า n ด้วย 1, 2, 3, 4... เราได้เลข 5, 17, 257 และ 65, 537 แต่เมื่อ

เราแทนค่า n = 5 เราได้ F₅ = 4,294,967,297 ซึ่ง Euler ได้พบว่า = 641 × 6,700,417 ดังนั้นสูตรของ Fermat จึงใช้ไม่ได้เมื่อ n = 5

ส่วนคำถามที่ว่า เลขเฉพาะที่มากที่สุดที่เรารู้จัก คือเลขอะไรนั้น นักคณิตศาสตร์ก็ต้องเผชิญกับความยากลำบากในการคิด เมื่อต้องคำนวนเลขร้อยหลัก พันหลัก เขา

จึงใช้คอมพิวเตอร์คำนวณแทน คอมพิวเตอร์ธรรมดาต้องใช้เวลานาน 38.3 นาที จึงพิสูจน์ได้ว่า 2¹⁹³ - 1 ไม่ได้เป็นเลขเฉพาะ เพราะ 2¹⁹³ - 1 = 13,821,503 ×

61,654,440,233,248,340,616,559 × 1,473,265,321,145,317,331,353,282,383 แต่ปัจจุบันนี้ Supercomper มีโปรแกรมที่สามารถทดสอบความเป็นหรือไม่เป็นเลขเฉพาะ

ของเลขที่มี 130 หลัก ได้เร็วกว่าที่ตาจะกะพริบ

เมื่อเดือนกรกฎาคม พ.ศ.2532 D.Slowinski แห่ง Cray Research ประกาศว่า สถิติโลกของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ 2^1,259,787 - 1 พออีก 3 เดือนต่อมา G. Woltman แห่งเมือง

Orlando ในรัฐฟลอริดา ซึ่งอาศัยความร่วมมือของนักคณิตศาสตร์นับร้อย และ Internet ประกาศว่า สถิติโลกใหม่ของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ 2^1,398,269 - 1 ตัวเลขดังกล่าวนี้มีกว่า

400,000 หลัก และนี่ก็คือสถิติโลกของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ณ วินาทีนี้

เลขมากทั้งหลายที่กล่าวมาทั้งหมดนี้เป็นเพียงหยดน้ำหยดหนึ่งในมหาสมุทรที่กว้างใหญ่ไพศาล เพราะถ้าหากเราพูดถึงเลข Ackermann ซึ่ง = 10¹⁰³⁴ เราจะต้องใช้กระดาษขนาดเท่าจักรวาล จึงจะ

เขียนมันได้หมดทุกหลัก