6÷2(1+2) = 1 หรือ 9 ??

คำตอบคือ “ช่วยกลับไปใส่วงเล็บ” ถ้าผู้พูดอยากสื่อสารให้ผู้ฟังเข้าใจ เพราะโจทย์ข้อนี้กำกวม !!

โจทย์ข้อนี้จึงเหมาะแก่การนำไปสอนเด็กๆ ให้ได้ถกเถียง ให้ได้คิดถึงการสื่อสารที่ขัดเจน  และให้เห็นถึงความสำคัญของการใส่วงเล็บ

ลองคิดดูว่า 6/2(1+2) เท่ากับเท่าไร
(1) 6÷2(1+2) = 6÷2(3) = 3*3 = 9
(2) 6÷2(1+2) = 6÷2*3 = 6÷6 = 1

(1) คิดตาม ลำดับการดำเนินการ (Order of Operations)

แบบที่ใช้สอนในหลักสูตรชั้นประถมและมัธยมทั่วไป เราจะทำ ในวงเล็บก่อน หลังจากนั้นทำการคูณและการหาร (ศักดิ์เท่ากัน) หลังจากนั้นทำการบวกและการลบ (ศักดิ์เท่ากัน) เมื่อศักดิ์เท่ากันให้ทำจากซ้ายไปขวา

หลักสูตรของอเมริกาเรียกว่า PEMDAS (Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction) ในหลักสูตรของอังกฤษเรียกว่า BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction)

(2) ยึดตามหลัก multiplication by juxtaposition หรือ การคูณกันโดยการเขียนติดกัน

มักจะใช้ในพีชคณิต เช่น เมื่อเขียน 2(1+2) ก็แปลว่า 2*(1+2) หรือ ab แปลว่า a*b บ่อยครั้งเมื่อมีการเขียนแบบนี้ ทำให้เราคิดได้ว่าเราแปะ a กับ b ไว้ด้วยกัน ก็ควรจะคิดตรงนั้นก่อน เช่น 1/ab อาจจะมองได้ว่าเท่ากับ 1/(ab) หลายคนมองว่าการตีความแบบที่ 2 นี้ “เป็นธรรมชาติ” มากกว่า

แล้วอันไหน “ถูก” ?

ก่อนอื่นขอบอกก่อนว่าลำดับของการดำเนินการไม่ใช่ “กฎ” ในคณิตศาสตร์
แต่เป็น “ข้อตกลง” (convention) เพื่อให้การสื่อสารชัดเจน ผู้พูดกับผู้ฟังเข้าใจตรงกัน

PEMDAS เป็นข้อตกลงที่ใช้กันในหลักสูตรประถม มัธยม เพราะฉะนั้น ถ้าผมเห็นแบบนี้ในข้อสอบประถม ผมจะตอบว่า 9 (แต่ข้อสอบที่ดี ก็ไม่ควรออกให้กำกวม) ถ้าผมเห็นแบบนี้ในข้อสอบมหาลัย ผมจะลาออก 555

แต่ในการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ทั่วไปแล้ว โดยเฉพาะในระดับที่สูงขึ้น ก็แล้วแต่ข้อตกลงของผู้เขียนกับผู้อ่านครับ หลายครั้งผู้เขียนก็สมมติเอาว่าผู้อ่านจะเข้าใจได้เองจากเนื้อหารอบๆ สมาคมคณิตศาสตร์ของอเมริกา (AMS) เคยออกกฎสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนลงวารสารวิชาการของเขาไว้ว่า ให้ทำ juxtaposition (เขียนติดกัน) ก่อนทุกอย่าง สั่งไว้เลยว่า ให้เขียน 1/2π เพื่อหมายถึง 1/(2π) เพราะว่าเป็นการประหยัดเนื้อที่กระดาษและก็ประหยัดหมึกครับ สมาคมฟิสิกส์ของอเมริกาบอกไว้ว่าถ้าเขียน 1/3x จะแปลว่า 1/(3x)

เพราะฉะนั้นผมมองว่า 6/2(1+2) นี่กำกวมครับ

สำหรับเครื่องคิดเลข หรือโปรแกรมคำนวณต่างๆ คนประดิษฐ์เค้าก็ต้องเลือกครับ ว่าจะให้คอมพิวเตอร์เข้าใจอย่างไร
ถ้าไม่อยากให้คอมพิวเตอร์เข้าใจผิด ก็อย่าเขียนกำกวมครับ

ไม่ว่าในกรณีใดๆ ก็ตามครับ สิ่งที่ดีที่สุดคือการสื่อสารให้ไม่กำกวม
สำหรับภาษาไทย ให้เว้นวรรคให้ถูกตำแหน่ง

สำหรับการเขียนประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์นั้น ให้ใส่วงเล็บครับ
ถ้าถามผมว่า 6/(2*(1+2)) = ? ผมจะตอบว่า 1
ถ้าถามผมว่า (6/2)*(1+2) = ? ผมจะตอบว่า 9

ขอบคุณเนื้อหาจาก : http://www.mfndl.com/

อ้างอิง:
- http://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html
- http://b.mfndl.com/AMSimbj
- http://b.mfndl.com/AIPsmfa
- http://jeff560.tripod.com/operation.html