คณิตศาสตร์ใกล้ตัว : ลำดับเรขาคณิต กับ ดอกเบี้ยธนาคาร ( ตอนจบ )
คณิตศาสตร์ใกล้ตัว : ลำดับเรขาคณิต กับ ดอกเบี้ยธนาคาร ( ตอนจบ )
ต่อจากบทความ “คณิตศาสตร์ใกล้ตัว : ลำดับเรขาคณิต กับ ดอกเบี้ยธนาคาร ( ตอนแรก )” เราได้ทราบถึงหลักการคำนวณลำดับอนุกรมของลำดับเรขาคณิตเป็นที่เรียบร้อยแล้ว คราวนี้เราจะมาดูกันว่า กู้เงิน 1 ล้านบ้าน อัตราดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี จะกลายเป็น ดอกเบี้ย 7แสนบาท ได้อย่างไร
ดอกเบี้ยทบต้น
ธนาคารจะใช้หลักการคิดแบบดอกเบี้ยทบต้น นั้นหมายถึง ดอกเบี้ยที่คิดจะมีผลบนเงินจำนวนล่าสุด ( ที่อาจเคยมีการบวกดอกเบี้ยเข้าไปเพิ่มแล้ว ) เช่น
สมมุติฝากเงินธนาคาร 100 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1 % ต่อปี
ปีที่ 1 จะมีเงิน 100 บาท (เงินเดิม) + 1 บาท (ดอกเบี้ย 1 % ของ 100) = 101 บาท = 100(1.01)
ปีที่ 2 จะมีเงิน 101 บาท (เงินเดิมจากปีแรก) + 1.01 บาท (ดอกเบี้ย 1 % ของ 100 ) = 102.01 บาท = 100(1.01)2
ดังนั้นหากฝากไป n ปี ก็จะมีเงินเป็น 100(1.01)n นั้นเอง
Present Value (มูลค่าในปัจจุบัน)
การคิด PV หรือ Present Value จะเป็นการมองกลับกันจากตัวอย่างข้างต้น
จากที่ปรกติเราจะมองว่า
“ถ้าตอนนี้มีเงิน A บาท ฝากธนาคารดอกเบี้ย i เป็นเวลา n ปี จะมีเงิน ณ ปีที่ n เป็นเงินเท่าไหร่?”
แต่ในการคิดค่า PV เราจะมองว่า
“เพื่อให้อนาคต เกินเงินขึ้น A บาท ฝากธนาคารดอกเบี้ย i เป็นเวลา n ปี ณ ตอนนี้ต้องมีเงินเท่าไหร่?”
ตัวอย่าง
สมมติ ธนาคารให้เงินดอกเบี้ยที่ 1 % ต่อปี เราฝากเงิน 100 บาท ผ่านไป 2 ปีจะมีเงิน 100(1.01)2
ดังนั้น PV ของ 100(1.01)2 ก็คือ 100 บาทนั้นเอง โดยสามารถหาได้จากการคูณส่วนกลับของดอกเบี้ยทบต้น 100(1.01)2 x (1.01)-2 = 100 นั้นเอง
Compound interest
เราสามารถแปลงอัตราดอกเบี้ย โดยไม่จำเป็นต้องคิดเป็นต่อ 1 ปี แต่สามารถคิดไปตามจำนวนครั้งที่เกิดการ จ่ายเงินได้ เช่น จากตัวอย่างที่ผ่านมา เราพบว่า หากธนาคารให้ดอกเบี้ย 1 % ฝากเงิน 100 บาท จะได้ ดอกเบี้ย 1 บาท ( 1 % ของเงินต้น ) แต่ผ่านไป 2 ปี ได้เงิน 2.01 บาท ( 2.01 % ) ของเงินต้น
เพื่อความง่ายขึ้นเราจะเปลี่ยนให้อัตราดอกเบี้ยอยู่ในรูปของตัวเลข แทนที่จะเป็น %
ดังนั้น ดอกเบี้ย 1 % ต่อปี = 0.01
พิจารณา (1 + 0.01)2 = (1 + 0.0201)
เราจะพบความสัมพันธ์ง่ายๆ โดยถ้าสมมติ i คือดอกเบี้ยในหน่วย ต่อ ปี
หากฝากเป็นระยะเวลา n ปี จะได้ว่า (1 + i)n = (1+j) ได้ j = (1 + i)n – 1 : j คือดอกเบี้ยต่อปี n ปี นั้นเอง
“กู้เงิน 1 ล้าน เป็นเวลา 20 ปี ดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี โดยผ่อนเงินทุกเดือน จะต้องผ่อนเดือนละเท่าไหร่ และ รวมแล้วทั้งสิ้นต้องจ่ายเงินคืนธนาคารเท่าไหร่”
จากข้อความข้างต้น เรามีหนี้ ณ วันนี้ มูลค่า 1 ล้านบ้าน ดังนั้น PV ( Present Value ) = 1 ล้านบาท
จำนวนครั้งที่เราต้องจ่ายคืน คือ 20 ปี x 12 เดือน 240 ครั้ง
เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่ให้มา เป็นหน่วย ต่อปี แต่ในความเป็นจริงนั้น เราจะต้องผ่อนธนาคารทุกเดือน ดังนั้นเราจะ เปลี่ยนให้เป็นอัตราดอกเบี้ยที่เกิดต่อเดือน โดยใช้วิธีเดียวกับหัวข้อ Compound interest
ให้ i แทนดอกเบี้ยต่อ ปี , j แทนดอกเบี้ยต่อเดือน จะได้ว่า (1+j)12 = 1+i
I = 6.5% = 0.065 แทนลงในสมการข้างต้น จะได้ว่า j = 0.0053 (0.53% ต่อเดือน) นั้นเอง
สมมติว่า ในแต่ละงวด เราจ่ายเงินคือจำนวน A บาท
โดยหลักการในหัวข้อ Present Value
ได้ว่า PV = A(1+j)-1 + A(1+j)-2+ A(1+j)-3 + … + A(1+j)-240
พิจารณา (1+j)-1 = 0.9948 สมมติ v = 0.9948 แทนกลับลงในสมการ Pricing
PV = Av + Av2 + Av3 +… + Av240 จะเห็นว่าสมการที่เกิดขึ้น เป็นสมการของอนุกรมลำดับเรขาคณิต นั้นเอง !!!!
เรา สามารถแก้สมการหาค่า A ได้โดย PV = {Av ( 1 – v240) }/(1-v)
แทนค่า PV = 1 ล้านบาท , v = 0.9948 ได้ A = 7,284.4 บาท
สรุป
“กู้เงิน 1 ล้าน เป็นเวลา 20 ปี ดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี โดยผ่อนเงินทุกเดือน จะต้องผ่อนเดือนละเท่าไหร่ ? “
ตอบ 7,284.4 บาท / เดือน : นี่คือตัวเลขจริงในโลกแห่งความเป็นจริง ที่คุณจะต้องผ่อนเมื่อมีการกู้เงินจากธนาคาร
“รวมแล้วทั้งสิ้นต้องจ่ายเงินคืนธนาคารเท่าไหร่?”
ตอบ 7,284.4 บาท X 240 ครั้ง = 1,748,256 บาท !!!!!
คิดเป็นดอกเบี้ยถึง 7 แสนบาท !!!
แน่นอนว่ามูลค่าของดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นจริง หากดูจากการแก้สมการแล้ว มันยังขึ้นอยู่กับว่า คุณจะผ่อนคืนในเวลาเท่าใด ก็ สามารถเปลี่ยนผลลัพธ์ได้เช่นกัน เผื่อลดปริมาณดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นลง เราจะต้องผ่อนให้สั้นที่สุด แต่แน่นอนว่าการผ่อนใน ระยะเวลาสั้นๆ จำนวนเงินที่ต้องผ่อนต่อครั้ง ก็จะมากขึ้นตามด้วย
นอกจากนี้ยังอาจมีตัวแปรอื่นๆ ขึ้นกับเงื่อนไขที่ผู้กู้ได้ทำกับธนาคาร
แต่อย่างไรก็ดี คราวนี้คงเห็นแล้วว่า ในความเป็นจริงแล้ว คณิตศาสตร์อยู่ใกล้ตัวเรามากๆ และแน่นอนว่า ผู้มีความรู้ย่อมสามารถทำการตัดสินใจได้รอบคอบกว่าแน่นอน
เนื้อหาโดย : ธัชชัย ตระกูลเลิศยศ
ภาพจาก
http://bigthink.com/60-second-reads/just-add-money-see-what-happens