คณิตศาสตร์เป็นเรื่องเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของแนวคิดต่างๆกับกันและกันโดยเฉพาะโดยไม่มีการพิจารณาความสัมพันธ์ของพวกมันกับประสบการณ์ฟิสิกส์ด้วยเช่นกันเป็นเรื่องเกี่ยวกับแนวคิดเชิงคณิตศาสตร์  แต่ว่าแนวคิดเหล่านี้ได้มาซึ่งเนื้อหาเชิงฟิสิกส์  โดยการกำหนดแน่นอนที่ชัดเจนของความสัมพันธ์ของพวกมันกับเป้าหมายของประสบการณ์เท่านั้น  โดยเฉพาะนี่เป็นข้อเท็จจริงที่ใช้สนับสนุนแนวคิดเกี่ยวกับการเคลื่อนที่, อวกาศ, เวลา    

          ทฤษฏีสัมพัทธภาพเป็นทฤษฏีเชิงฟิสิกส์ เช่นนั้น  ซึ่งอิงกับการตีความเชิงฟิสิกส์ที่สอดคล้องกันของสามแนวคิดนี้  ชื่อ  “ทฤษฏีสัมพัทธภาพ”  สัมพันธ์กับข้อเท็จจริงที่ว่า  การเคลื่อนที่จากมุมมองขอประสบการณ์ที่อาจเป็นไปได้ 
ดูเหมือนเป็นการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัตถุหนึ่งเทียบกับอีกวัตถุหนึ่งเสมอ  ( เช่น ของรถยนต์  เทียบกับพื้นดินหรือโลกเทียบกับดวงอาทิตย์และดาวฤกษ์)  การเคลื่อนที่ไม่เคยสังเกตได้เหมือนเป็น  ”การเคลื่อนที่เทียบกับอวกาศ” 
เลยหรืออย่างที่เขียนมันออกมาเป็น  “การเคลื่อนที่สัมบูรณ์”  “หลักการของสัมพัทธภาพ”  ตามความหมายที่กว้างที่สุดของมัน  รวมอยู่ในคำกล่าว :  ผลรวมของปรากฏการณ์เชิงฟิสิกส์ มีลักษณะที่มันไม่ได้ให้หลักเกณฑ์สำหรับการนำแนวคิดเกี่ยวกับ  “การเคลื่อนที่สัมบูรณ์”  มาใช้  :  หรือสั้นกว่าแต่ถูกต้องน้อยลง  คือไม่มีการเคลื่อนที่สัมบูรณ์

           มันอาจจะดูเหมือนว่าความรู้ความเข้าใจของเราจะได้ประโยชน์น้อยมากจากคำกล่าวเชิงลบเช่นนั้น  แต่ว่าในความเป็นจริง  มันเป็นข้อจำกัดที่แรงมากสำหรับ  (ที่พอนึกออก)  กฏของธรรมชาติ  ตามความหมายนี้  มีข้อคล้ายคลึงกันระหว่างทฤษฏีสัมพัทธภาพและอุณหพลศาสตร์อยู่จริง ทฤษฏีหลังด้วยเช่นกันอิงกับคำกล่าวเชิงลบที่ว่า  “ไม่มีโมบายล์*ที่แกว่งอยู่ตลอดไปอยู่จริง”

           มีการดำเนินการพัฒนาทฤษฏีสัมพัทธภาพต่อไปในสองขั้นตอนคือ  “ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ”  และ  “ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป”  ทฤษฏีหลังถือว่าความถูกต้องของทฤษฏีแรกเป็นกรณีขีดจำกัดและเป็นส่วนสืบเนื่องที่สอดคล้องกันของมัน

*งานศิลปะเป็นรูปต่างๆ  ที่แขวนจากเพดานและแกว่งไปมาเมื่อมีลม

 (ก)ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
           การตีความเชิงฟิสิกส์ของอวกาศและเวลาในกลศาสตร์แบบฉบับ
           เรขาคณิตจากทัศนะเชิงฟิสิกส์เป็นผลรวมของกฏตามที่ซึ่งวัตถุแข็งเกร็ง  ที่ต่างฝ่ายต่างหยุดนิ่งอาจวางเทียบกันได้  (เช่น  สามเหลี่ยมประกอบด้วยแท่งโลหะสามท่อนที่ปลายของมันแตะกันอย่างถาวร)  มีการทึกทักเอาว่าด้วยการตีความเช่นนั้นกฏระบบยุคลิดถูกต้อง  “อวกาศ”  ในการตีความนี้โดยหลักการเป็นวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างมหาศาล  (หรือโครงสร้าง)  ซึ่งตำแหน่งของวัตถุอื่นๆ  ทั้งหมด  เกี่ยวพันกัน  (วัตถุอ้างอิง)   เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์(เดส์การ์ตส์)ใช้เป็นวัตถุอ้างอิงซึ่งใช้แทนอวกาศ  ท่อนโลหะแข็งเกร็งที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันสามท่อนซึ่งวัด  “พิกัด”  (x, y , z)  ของจุดเชิงอวกาศ  ด้วยวิธีการที่รู้จักกันดี  คือเป็นการฉายเชิงตั้งฉาก  (ด้วยความช่วยเหลือจากอุปกรณ์ - การวัดที่แข็งเกร็ง)

           ฟิสิกส์เกี่ยวข้องกับ  “เหตุการณ์”  ในอวกาศและเวลา  แต่ละเหตุการณ์เป็นของ  นอกจากพิกัดตำแหน่งของมัน  x, y , z  คือค่าเวลา  t    อันหลังถือว่าวัดได้ด้วยนาฬิกา  (กระบวนการที่เกิดขึ้นซ้ำๆ  เชิงอุดมคติ)  ที่มีขนาดเชิงอวกาศที่เล็กน้อยจนตัดออกไปได้  นาฬิกาเรือนนี้  C (จะต้องถือว่า หยุดนิ่งที่จุดๆ  หนึ่งของระบบพิกัดนี้  เช่นที่จุดกำเนิดของพิกัด  (x = y = z = 0)  ถ้าอย่างนั้นเวลาของเหตุการณ์ๆหนึ่งที่เกิดขึ้นที่จุด  P(x , y , z)  ถูกกำหนดว่า เป็นเวลาที่แสดงบนนาฬิกา  C  พร้อมกันกับเหตุการณ์นี้  ตรงนี้แนวคิด  “พร้อมกัน”  ถือว่ามีความหมายในเชิงฟิสิกส์โดยไม่มีคำนิยามพิเศษ      นี่เป็นการไม่มีความถูกต้องแม่นยำ  ซึ่งดูเหมือนจะไม่มีพิษมีภัยอะไร  เพราะโดยอาศัยแสงเท่านั้น  (ซึ่งความเร็วของมันมหาศาลในเชิงปฏิบัติ จากมุมมองของประสบการณ์ประจำวัน)  ความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกันในเชิงอวกาศดูเหมือนว่าสามารถตัดสินได้ทันที

           ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษเอาการไม่มีความถูกต้องแน่นอนนี้ออกไปโดยการกำหนดความพร้อมกันในเชิงฟิสิกส์ด้วยการใช้สัญญาณแสง  เวลา  t   ของเหตุการณ์ที่  P    เป็นผลที่อ่านได้ของนาฬิกา  C  ที่เวลาการมาถึงของสัญญาณแสงที่ถูกปล่อยจากเหตุการณ์นั้น  ซึ่งถูกปรับแก้ในเรื่องเวลาที่สัญญาณแสงต้องใช้ในการเดินทางระยะทางนั้น  การปรับแก้นี้ถือว่า  (ถือเป็นหลัก)  ความเร็วของแสงคงตัว

           คำนิยามนี้เปลี่ยนแนวคิดเกี่ยวกับความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกันในเชิงอวกาศไปเป็นแนวคิดเกี่ยวกับความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกัน  (การเกิดขึ้นที่เดียวกัน)  นั่นก็คือ  การมาถึงของสัญญาณแสงที่ C  และผลที่อ่านได้ของ  C  

           กลศาสตร์แบบฉบับอิงกับหลักการของกาลิเลโอ  :  วัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอตราบใดที่วัตถุอื่นๆ  ไม่ได้มีผลต่อมัน  คำกล่าวที่ไม่อาจถูกต้องได้สำหรับระบบพิกัดที่เคลื่อนที่อย่างไม่เจาะจง  มันจะอ้างสิทธิความถูกต้องได้เฉพาะสิ่งที่เรียกกันว่า  “ระบบเฉื่อย”  เท่านั้น   ระบบเฉื่อยเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอเทียบกัน  ในฟิสิกส์แบบฉบับกฎต่างๆ  อ้างสิทธิความถูกต้องเทียบกับระบบเฉื่อยทั้งมวลเท่านั้น  (หลักการพิเศษของสัมพัทธภาพ)

           ตอนนี้  มันง่ายที่จะเข้าใจภาวะการหนีเสือปะจระเข้ซึ่งได้นำไปสู่ทฤษฏีสัมพัทธพิเศษ  ประสบการณ์และทฤษฏีได้ค่อยๆ  นำไปสู่  ความเชื่อมั่นที่ว่าแสงในอวกาศที่ว่างเปล่าเดินทางด้วยความเร็วเดียวกัน  c  เสมอ  ไม่ขึ้นกับสีของมัน  และสภาพการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดของแสง (หลักการความคงตัวของความเร็วของแสง  -   ต่อไปนี้จะเรียกว่า  -  “หลักการ  -  L” )   ตอนนี้การพิจารณาที่นึกรู้ขึ้นมาเองเบื้องต้น  ดูเหมือนจะแสดงว่ารังสีแสงเดียวกันไม่สามารถ  เคลื่อนที่เทียบกับระบบเฉื่อยทั้งมวลด้วยความเร็วเดียวกัน  c  ได้    หลักการ  -  L  ดูเหมือนจะขัดแย้งกับหลักการพิเศษของสัมพัทธภาพ

           แต่ว่า  ปรากฏว่าความขัดแย้งนี้เป็นความขัดแย้งปรากฏเท่านั้น  ซึ่งโดยเนื้อแท้แล้วพัฒนามาจากอคติในเรื่องลักษณะเชิงสัมบูรณ์ของเวลาหรือถ้าจะพูดให้ถูกในเรื่องความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกัน     สำหรับตอนนี้เราเพิ่งจะได้เห็นว่า  x , y , z  และ  t  ของเหตุการณ์สามารถกำหนดได้  เทียบกับระบบพิกัดที่เลือกมาระบบหนึ่ง  (ระบบเฉื่อย)     การแปลงของ  x , y , z  , t  ของเหตุการณ์ซึ่งจะต้องดำเนินการด้วยการเปลี่ยนจากระบบเฉื่อยระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง  (การแปลงพิกัด)  เป็นปัญหาซึ่งไม่สามารถแก้ได้โดยไม่มีข้อสมมติเชิงฟิสิกส์พิเศษ  แต่ว่าสัจพจน์ต่อไปนี้เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาอย่างแน่นอน  :  หลักการ  L  ใช้ได้สำหรับระบบเฉื่อยทั้งมวล  (การประยุกต์ใช้หลักการพิเศษของสัมพัทธภาพกับหลักการ  -  L )  จึงมีการกำหนดการแปลง  ซึ่งเป็นเชิงเส้นใน x , y , z , t  ที่เรียกว่า  การแปลงโลเร็นตซ์   มีการระบุการแปลงโลเร็นตซ์  อย่างเป็นทางการโดยความต้องการที่ว่านิพจน์
                                dx² + dy² + dz² - c²dt²

           ซึ่งสร้างขึ้นจากผลต่างพิกัด  dx , dy , dz  ,dt  ของสองเหตุการณ์ที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่จำกัดนั้นไม่แปรเปลี่ยน  (นั่นคือว่าโดยผ่านการแปลงมันเปลี่ยนไปเป็นนิพจน์เดียวกันที่สร้างขึ้นจากผลต่างพิกัดในระบบใหม่)

           โดยอาศัยการแปลงโลเร็นตซ์  หลักการพิเศษของสัมพัทธภาพสามารถเขียนออกมาได้ดังต่อไปนี้  :  กฏของธรรมชาติไม่แปรเปลี่ยนเมื่อเทียบกับการแปลงโลเร็นตซ์  (นั่นคือ  กฏของธรรมชาติไม่เปลี่ยนรูปแบบของมัน  ถ้าเราใส่ระบบเฉื่อยใหม่เข้าไปโดยอาศัยการแปลงแบบโลเร็นตซ์ใน  x, y , z, t)

           ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษได้นำไปสู่ความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับแนวคิดเชิงฟิสิกส์ของอวกาศและเวลา  และเกี่ยวกับเรื่องนี้  นำไปสู่ความเข้าใจและยอมรับพฤติกรรมของไม้วัดและนาฬิกาที่เคลื่อนที่  โดยหลักการมันได้กำจัดแนวคิดเกี่ยวกับความพร้อมกันสัมบูรณ์และด้วยเหตุนั้นได้กำจัดแนวคิดเกี่ยวกับกิริยาที่เกิดขึ้นทันทีจากที่ไกลๆ  ตามความหมายของนิวตันด้วย  มันได้แสดงให้เห็นว่าจะต้องปรับปรุงกฏของการเคลื่อนที่อย่างไรเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ที่ไม่ได้มีขนาดเล็กน้อยจนตัดออกไปได้ถ้าเทียบกับความเร็วของแสง  มันได้นำไปสู่การอธิบายแบบเป็นทางการของสมการของแมกซ์เวลล์เกี่ยวกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า  ;  โดยเฉพาะมันได้นำไปสู่  ความเข้าใจเกี่ยวกับความเป็นอันหนึ่งอันเดียวกันที่ขาดไม่ได้ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก  มันได้รวมๆกฏการอนุรักษ์ของโมเมนตัมและของพลังงานเข้าเป็นกฏหนึ่งเดียว  และได้แสดงให้เห็นความสมมูลของมวลและพลังงาน   จากมุมมองแบบเป็นทางการเราอาจจะระบุผลสำเร็จของทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษได้ดังต่อไปนี้  :  โดยสรุปอย่างคร่าวๆ  มันได้แสดงให้เห็นบทบาทซึ่งค่าคงตัวสากล  c (ความเร็วของแสง)  เล่นในกฏของธรรมชาติและได้แสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดอยู่จริงระหว่างรูปแบบ  ซึ่งเวลาในทางหนึ่งและพิกัดเชิงอวกาศในอีกทางหนึ่ง  เข้าไปมีส่วนเกี่ยวของในกฏของธรรมชาติ
                               
(ข) ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป
           ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษได้รักษาหลักการของกลศาสตร์แบบฉบับไว้ในประเด็นพื้นฐานอันหนึ่งนั่นก็คือคำกล่าว  :  กฏของธรรมชาติใช้ได้เทียบกับระบบเฉื่อยเท่านั้น   การแปลง  “ที่อนุญาตให้”  สำหรับพิกัด  (เช่น  พวกที่ซึ่งทิ้งรูปแบบของกฏไว้คงเดิม)  คือการแปลงโลเร็นตซ์(เชิงเส้น)อย่างเดียว  มีการสร้างข้อจำกัดนี้ในข้อเท็จจริงเชิงฟิสิกส์จริงๆ  หรือ?    ข้อโต้แย้งต่อไปนี้ปฏิเสธมันอย่างน่าเชื่อตาม

           หลักการของความสมมูล  วัตถุมีมวลเฉื่อย  (ความต้านทานต่อความเร่ง)  และมวลหนัก  (heavy  mass)  (ซึ่งกำหนดน้ำหนักของวัตถุในสนามโน้มถ่วงที่กำหนดให้  ยกตัวอย่างเช่น  สนามที่พื้นผิวของโลก)    สองปริมาณนี้ที่ต่างกันเหลือเกินตามคำนิยามของมัน  แต่ตามประสบการณ์วัดได้โดยตัวเลขตัวหนึ่งและตัวเดียวกัน  จะต้องมีเหตุผลที่ลึกซึ้งกว่าในเรื่องนี้   ข้อเท็จจริงนี้สามารถอธิบายได้ด้วยดังต่อไปนี้  :  ในสนามโน้มถ่วงมวลต่างๆ  ได้ความเร่งเดียวกัน   ในที่สุดสามารถเขียนมันออกมาได้ด้วยดังต่อไปนี้  :  วัตถุที่อยู่ในสนามโน้มถ่วงประพฤติตัวเหมือนกรณีที่ไม่มีสนามโน้มถ่วง  ถ้าในกรณีหลังระบบอ้างอิงที่ใช้เป็นระบบพิกัดถูกเร่งอย่างสม่ำเสมอ  (แทนที่จะเป็นระบบเฉื่อย)

           ดังนั้นดูเหมือนจะไม่มีเหตุผลที่จะห้ามการตีความต่อไปนี้ของกรณีหลัง  เรามองว่าระบบนี้เหมือน  “หยุดนิ่ง”  และมองว่าสนามโน้มถ่วง  “ปรากฏ”  ซึ่งมีอยู่จริงเทียบกับมันเหมือนเป็นสนาม  “ที่มีอยู่จริง”    สนามโน้มถ่วงนี้ที่  “เกิดขึ้น”  โดยความเร่งของระบบพิกัด  แน่ละจะมีขอบเขตที่ไม่จำกัดปริมาณในลักษณะที่มวลโน้มถ่วงไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นได้ ในบริเวณที่มีขอบเขตจำกัด  ;  แต่ว่า  ถ้าเรากำลังมองหาทฤษฏีที่เหมือน – สนาม  ข้อเท็จจริงนี้ไม่น่ากีดขวางเรา   ด้วยการตีความนี้ระบบเฉื่อยก็สูญเสียความสำคัญของมันไป  และเรามี  “คำอธิบาย”   สำหรับการเท่ากันของมวลหนักและมวลเฉื่อย  (คุณสมบัติเดียวกันของสสารปรากฏเป็นน้ำหนัก  หรือเป็นความเฉื่อย  ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุ)

           ถ้าพิจารณาแบบเป็นทางการ  การยอมรับระบบพิกัดซึ่งมีความเร่งเทียบกับพิกัด  “เฉื่อย”  เดิม  หมายถึงการยอมรับการแปลงพิกัดที่ไม่ใส่  -  เชิงเส้น  ดังนั้นการขยายความคิดเกี่ยวกับความไม่แปรเปลี่ยนให้กว้างขึ้นอย่างทรงพลังคือหลักการของสัมพัทธภาพ

           อันดับแรกการอภิปรายที่เฉียบแหลมที่ใช้ผลลัพธ์ของทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ  แสดงให้เห็นว่าด้วยการวางหลักเกณฑ์ทั่วไปเช่นนั้นทำให้ไม่สามารถตีความพิกัดอย่างตรงไปตรงมาว่าเป็นผลของการวัดได้อีกต่อไป  ผลต่างพิกัดรวมทั้งปริมาณเชิงสนาม  ซึ่งระบุสนามโน้มถ่วงเท่านั้นที่กำหนดระยะทาง  ที่วัดได้ระหว่างเหตุการณ์    หลังจากเราได้พบว่าตนเองถูกบังคับให้ยอมรับการแปลงพิกัดที่ไม่ใช่  -  เชิงเส้นเป็นการแปลงระหว่างระบบพิกัดที่มีค่าเท่ากัน  ความต้องการที่ง่ายที่สุด  ดูเหมือนจะยอมรับการแปลงพิกัด  ที่ดำเนินติดต่อกันทั้งมวล  (ซึ่งเป็นกลุ่ม)  คือดูเหมือนจะยอมรับระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งที่ไม่เจาะจง  ซึ่งระบุสนามโดยฟังก์ชันปรกติ  ( regular function)  (ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไป)

           ตอนนี้มันไม่ยากที่จะเข้าใจว่าทำไมหลักการทั่วไปของสัมพัทธภาพ  (บนพื้นฐานของหลักการความสมมูล)  ได้นำไปสู่ทฤษฏีเชิงความโน้มถ่วง  (gravitation)   มีอวกาศชนิดพิเศษซึ่งโครงสร้างเชิงฟิสิกส์ของมัน  (สนาม)  เราอาจถือได้ว่าเป็นที่รู้จักกันดีทีเดียวบนพื้นฐานของทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ   สิ่งนี้เป็นอวกาศที่ว่างเปล่าโดยไม่มีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและโดยไม่มีสสาร   มันถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยคุณสมบัติเชิง  “เมตริก (metric)”  ของมัน  :  ให้  dx₀ , dy₀ , dz₀ , dt₀   เป็นผลต่างพิกัดของจุดเหตุการณ์ที่ใกล้กันมากยิ่งสองจุด  ;  ถ้าอย่างนั้น

                      ds²  =  dx²₀ + dy²₀ + dz²₀ – c²dt²……………………( 1 )
           เป็นปริมาณที่วัดได้  ซึ่งไม่ขึ้นกับการเลือกแบบพิเศษของระบบเฉื่อย   ถ้าในอวกาศนี้  เรานำพิกัดใหม่  x₁  , x₂ ,x₃ , x₄    มาใช้  ผ่านการแปลงพิกัดแบบทั่วไป  ถ้าอย่างนั้นปริมาณ  ds₂   สำหรับคู่เดียวกันของจุดมีนิพจน์อยู่ในรูป

                      ds² = ∑g_ik dxⁱ lk^k   (บวกรวมเฉพาะ  i  และ  k  จาก  1  ถึง  4)  -------------(2)

           โดยที่  g_ik  =  g  ถ้าอย่างนั้น  g_ik  ซึ่งเป็น  “เทนเชอร์สมมาตร  (symmetric  tensor)”   และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x₁ , ……. , x₄    ตามหลักการของความสมมูลจะอธิบายสนามโน้มถ่วงชนิดพิเศษ  (นั่นก็คือ  สนามซึ่งสามารถแปลงอีกครั้งหนึ่งไปเป็นรูปแบบ  (1)  ได้)    จากการตรวจสอบของรีมันน์ในเรื่องอวกาศเชิงเมตริก  คุณสมบัติเชิงคณิตศาสตร์ของสนาม  g_ik  นี้สามารถหาได้อย่างถูกต้องแม่นยำได้  (“เงื่อนไข – รีมันน์”)  แต่ว่าสิ่งที่เรากำลังมองหาคือสมการที่สนามโน้มถ่วง  “ทั่วไป”  มีคุณสมบัติตรงตาม  เป็นเรื่องธรรมดาที่จะถือว่า สามารถเรียกพวกมันด้วยเช่นกันว่า  สนาม  -  เทนเชอร์ชนิด  g_ik   ได้  ซึ่งโดยทั่วไปไม่ได้ยอมรับการแปลงไปสู่รูปแบบ  (1)  คือซึ่งไม่ได้มีคุณสมบัติตรงตาม  “เงื่อนไขรีมันน์”  แต่เป็นเงื่อนไขที่อ่อนกว่าซึ่งในลักษณะเดียวกับเงื่อนไขรีมันน์คือไม่ขึ้นกับการเลือกพิกัด (คือโดยทั่วไปแล้วไม่แปรเปลี่ยน)  การพิจารณาแบบเป็นทางการอย่างง่ายๆ  นำไปสู่เงื่อนไขที่อ่อนกว่า ซึ่งเชื่อมโยงอย่างมากกับเงื่อนไขรีมันน์   เงื่อนไขเหล่านี้เป็นสมการของสนามโน้มถ่วงแท้ๆ  ทีเดียว  (ภายนอกสสารและไม่มีสนามแม่เหล็กไฟฟ้า)

           สมการเหล่านี้ได้สมการของนิวตันเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงโน้มถ่วงเป็นกฏโดยประมาณและอีกประการหนึ่งผลลัพธ์เล็กน้อยอันหนึ่งซึ่งได้รับการยืนยันโดยการเฝ้าสังเกต  (การเลี้ยวเบนของแสงโดยสนามโน้มถ่วงของดวงดาว  ;  อิทธิพลของศักย์โน้มถ่วงต่อความถี่ของแสงที่ถูกปล่อยออกมา  , การหมุนอย่างช้าๆของการเดินทางรอบรูปวงรีของดาวเคราะห์ต่างๆ  -  การเคลื่อนที่ของเพริฮีเลียนของดาวเคราะห์พุธ)    พวกมันให้คำอธิบายอื่นๆ  อีกในเรื่องการเคลื่อนที่ขยายใหญ่ขึ้นของระบบดวงดาวในอวกาศ  ซึ่งมีการปรากฏให้เห็นชัดเจนโดยการเลื่อนไปทางสีแดงของแสงที่ถูกปล่อยออกมจากระบบเหล่านี้ 
 จนบัดนี้ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปยังไม่สมบูรณ์ตราบใดที่มันสามารถที่จะประยุกต์หลักการทั่วไปของสัมพัทธภาพไปใช้ได้อย่างน่าพอใจกับสนามโน้มถ่วงเท่านั้น  แต่ไม่ได้กับสนามทั้งหมด  เรายังไม่รู้แน่นอนว่าจะต้องใช้กลไลเชิงคณิตศาสตร์อะไรในการอธิบายสนามทั้งหมดในอวกาศ  และสนามทั้งหมดนี้ต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไข กฏที่ไม่แปรเปลี่ยนแบบทั่วไปอะไร  แต่ว่าสิ่งหนึ่งดูเหมือนจะแน่นอน  :  นั่นก็คือว่าหลักการทั่วไปของสัมพัทธภาพจะเป็นที่ประจักษ์ในเวลาต่อมาว่าเป็นเครื่องมือที่จำเป็นและมีประสิทธิภาพ  สำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสนามทั้งหมด

           จนบัดนี้ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปยังไม่สมบูรณ์ตราบใดที่มันสามารถที่จะประยุกต์หลักการทั่วไปของสัมพัทธภาพไปใช้ได้อย่างน่าพอใจกับสนามโน้มถ่วงเท่านั้น  แต่ไม่ได้กับสนามทั้งหมด  เรายังไม่รู้แน่นอนว่าจะต้องใช้กลไลเชิงคณิตศาสตร์อะไรในการอธิบายสนามทั้งหมดในอวกาศ  และสนามทั้งหมดนี้ต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไข กฏที่ไม่แปรเปลี่ยนแบบทั่วไปอะไร  แต่ว่าสิ่งหนึ่งดูเหมือนจะแน่นอน  :  นั่นก็คือว่าหลักการทั่วไปของสัมพัทธภาพจะเป็นที่ประจักษ์ในเวลาต่อมาว่าเป็นเครื่องมือที่จำเป็นและมีประสิทธิภาพ  สำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสนามทั้งหมด

แปลจากบทความบางบทในหนังสือ out of my later years
เขียนโดยแอลเบิร์ต ไอน์สไตน์
แปลโดยคุณราชัย  ประกอบการ