สมบัติของกราฟฟังก์ชัน sine และ cosine

ฟังก์ชัน sine และ cosine จัดเป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ กล่าวคือ

sin(x + 2Π) = sin x

และ cos(x + 2Π) = cos x

ในกรณีนี้ จะกล่าวว่า sin x และ cos x เป็นฟังก์ชันที่มีคาบเท่ากับ 2Π ในแง่ของกราฟ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x

จะซ้ำรูปแบบเดิมเป็นช่วงกว้าง 2Π ดังรูป 1

ภาพที่ 6 ในกรณี sin x และ cos x เป็นฟังก์ชันที่มีคาบเท่ากับ 2Π ในแง่ของกราฟ ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x จะซ้ำรูปแบบเดิมเป็นช่วงกว้าง 2Π ดังรูป 1

จากรูป 1 กราฟในช่วง [0,2Π] จะมีลักษณะเหมือนกับกราฟในช่วง [2Π,4Π] เนื่องจากค่าของ -1 ≤sin x ≤1 และ

-1 ≤cos x ≤1จะพบว่ากราฟของ sin x และ cos x มีค่าสูงสุดเป็น 1 และ ค่าต่ำสุดเป็น -1 ขนาดของค่าสูงสุด

รียกว่า แอมพลิจูดของกราฟ

ค่าแอมพลิจูดของกราฟ สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยคูณฟังก์ชัน sin x หรือ cos x ด้วยค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น กราฟ y = 5 sin x

จะมีค่า -5 ≤y ≤5 นั่นคือ มีแอมพลิจูดเท่ากับ 5 เป็นต้น

คาบของฟังก์ชัน อาจมีค่าต่างจาก 2Π ก็ได้ หากมีค่าคงที่คูณอยู่กับ x เช่น กราฟ y = sin 2x จะมีคาบเป็นΠ เนื่องจาก

y(x +Π) = sin 2(x + Π) = sin (2x + 2Π) = sin 2x = y(x)

จากการพิจารณาที่ผ่านมา สามารถสรุปลักษณะกราฟ ของฟังก์ชัน sine ในรูปแบบทั่วไป ได้ดังนี้ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน

y = A sin Bx ----(1)

โดยที่ A และ B เป็นจำนวนจริง

กราฟของสมการ (1) มีแอมพลิจูด เท่ากับ |A| เนื่องจาก -|A|≤ y≤ |A| และมีคาบเป็น 2Π/B เนื่องจาก

ในรูปแบบเดียวกัน จะได้ว่ากราฟของฟังก์ชัน

y = A cos BX

มีแอมพลิจูดเป็น (A) และ มีคาบเป็น 2Π/B กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

แสดงในรูป 2

ภาพที่ 7 ลักษณะของกราฟของ sin x และ cos x ที่มี แอมพลิจูดเป็น (A) และ มีคาบเป็น 2Π/B กราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

การเขียนกราฟของฟังก์ชัน sine และ cosine

โดยใช้แนวคิดของการเลื่อนกราฟ สามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป

y = A sin (Bx -C) + k ----(1)

ได้ดังนี้ ให้ h = C/B สามารถเขียนสมการ (1) ได้เป็น

y-k = A sin (B(x-h))

ซึ่งเป็นสมการ y' = A sin Bx' ที่เกิดจาก การเลื่อนจุดกำเนิดจาก (0,0) ไปยัง (h,k) ดังรูป 2

ภาพที่ 8  ภาพสมการ y' = A sin Bx' ที่เกิดจาก การเลื่อนจุดกำเนิดจาก (0,0) ไปยัง (h,k)

มีข้อควรสังเกต คือ กราฟของสมการ (1) ยังคงมีคาบเท่ากับ 2Π/B

สำหรับกราฟของ ฟังก์ชัน cosine สามารถเขียนได้ โดยใช้สมบัติ

cosθ = sin (θ + Π/2)

จึงได้ว่ากราฟของ y = A cos Bx = A sin (Bx + Π/2) เกิดจากการเลื่อนกราฟของ y = A sin Bx ไปทางซ้ายเป็นระยะ Π/2 เนื่องจากในกรณีนี้ h = -Π/2 ดังแสดงในรูป 3

ภาพที่ 9 ภาพกราฟของ y = A cos Bx = A sin (Bx + Π/2) เกิดจากการเลื่อนกราฟของ y = A sin Bx ไปทางซ้ายเป็นระยะ Π/2 เนื่องจากในกรณีนี้ h = -Π/2