ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

ในอวกาศสามมิติ R3สามารถระบุตำแหน่งของจุดต่าง ๆ ได้ด้วยค่าพักัดสามค่า เช่น (x, y, z) ในระบบพิกัดฉาก นอกจากนี้

ยังสามารถระบุตำแหน่งของจุดใน R3ในระบบพิกัดอื่น ๆ ได้อีกด้วย เช่น ระบบพิกัดทรงกลม และระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นต้น

ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

พิจารณาจุดใน R3ที่มีพิกัดเป็น (x,y,z) ดังรูป 1 จุด (x,y,z) สามารถ

กำหนดให้มีค่าพิกัดในระบบพิกัดทรงกลมได้เป็น (r, θ,Ø) ดังรูป 2 ในที่นี้ r เป็นระยะทางจากจุดกำเนิด (0,0,0)θ เป็นมุมที่วัด

จากแกน z และØ เป็นมุมที่วัดจากแกน x มายังโปรเจกชันของ r บนระนาบ xy

จากรูป 2 จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง พิกัด (x,y,z) และ (r,θ,Ø) เป็น

z = r cosθ -----(1)

x = r sinθ cosØ -----(2)

y = r sinθ sinØ -----(3)

ซึ่งสามารถหาอินเวอร์สได้เป็น

พิสัยของค่าพิกัด (x,y,z) คือ

-∞ < x <∞ , -∞ < y <∞ , -∞ < z <∞

ส่วนค่าพิสัยของพิกัด (r,θ,Ø) หาได้ดังนี้

เนื่องจากจึงได้ r≥ 0

สำหรับØ จะพบว่า 0≤Ø≤ 2Π เนื่องจาก y/x ให้ค่า tanØ ได้ทุกค่าในช่วง (-∞,∞) สำหรับθ จะได้ว่า 0≤θ≤Π

เนื่องจาก cos-1มีค่าอยู่ในช่วง [0,Π] จึงสรุปได้ว่า ในพิกัดทรงกลม

r≥ 0 , 0≤θ≤Π, 0≤Ø≤ 2Π

การใช้พิกัดทรงกลมทำให้เขียนสมการบางอย่างได้ง่ายขึ้น เช่น วงกลมรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดมีสการใน

ระบบพิกัดฉากเป็น

x2+ y2+ z2= R2

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ (1), (2) และ (3) จะได้สมการในรูปแบบง่าย ๆ คือ

r = R

ระบบพิกัดทรงกลมใน n มิติ

พิจารณาอวกาศ Rnที่ระบุตำแหน่งของจุดใด ๆ ด้วยพิกัด n ค่า (x1, ... , xn) ในที่นี้ จะแสดงวิธีการระบุตำแหน่งของจุดใ Rnด้วย

พิกัดทรงกลม ให้จุด P(x1, ... , xn) อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ r จะได้ว่า

r2= x12+ x22+ ... + xn2-----(1)

ในระบบพิกัดทรงกลม จะใช้ค่า r ร่วมกับมุมอีก n-1 ค่าในการระบุตำแหน่งของจุด P พิกัดเชิงมุม θi, i = 1, ... , n-1 คือพิกัดบน

ทรงกลม n-1 มิติที่มีรัศมี r ดังแสดงในสมการ (1) การเขียนพิกัด (x1, ... , xn) ในรูปของ (r, θ1, ... , θn-1) ทำได้โดยแก้สมการ (1)

ดังนี้ ให้ xn= r cos θ1

จากสมการ (1) จะได้ x12+ ... + (xn-1)2= r2sin2θ1-----(2)

จากนั้นให้ xn-1= r sin θ1cos θ2

จากสมการ (2) จะได้ x12+ ... + (xn-2)2= r2sin2θ1sin2θ2-----(3)

จากนั้นให้ xn-2= r sin θ1sin θ2cos θ3

แทนลงใน (3) จะได้

x12+ ... + (xn-3)2= r2sin2θ1sin2θ2sin2θ3

โดยการทำเช่นเดียวกัน ซ้ำไปเรื่อย ๆ จนถึง x1จะได้ความสัมพันธ์

xn= r cos θ1

xn-1= r sin θ1cos θ2

xn-2= r sin θ1sin θ2cos θ3

•
•
•

x2= r sin θ1... sin θn-2cos θn-1

x1= r sin θ1... sin θn-2sin θn-1

ในลักษณะเดียวกับพิกัดทรงกลมในสามมิติ (r, θ, Ø) สามารถ พิจารณาได้ว่า พิสัยของพิกัด (r, θ1, ... , θn-1) มีค่าเป็น

r ≥ 0 , 0 ≤ θ1≤ Π , 0 ≤ θi≤ Π , i = 2, ... , n-1

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น พิจารณาตัวอย่างของพิกัดทรงกลมใน 4 มิติ ดังต่อไปนี้

พิกัดทรงกลมใน 4 มิติ

พิกัดของจุดใน R4ระบุได้ด้วย (w,x,y,z) ในระบบพิกัดฉาก ในระบบพิกัดทรงกลม (r, θ, Ø, φ) จะได้ว่า

r2= w2+ x2+ y2+ z2

สมการนี้จะเป็นจริงเมื่อให้

z = r cos θ

y = r sin θ cos Ø

x = r sin θ sin Ø cos φ

w = r sin θ sin Ø sin φ

จากความสัมพันธ์ที่ได้ จะพบว่าที่ θ = 0 จะได้ (w, x, y, z) = (0, 0, 0, r) ซึ่งเป็นจุดที่อยู่บนแกน z โดยห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ

r มุม θ จึงกวาดจาก แกน +z ไปยังง -z เนื่องจาก 0 ≤ θ ≤ Π มุมที่เหลือ คือ Ø และ φ จะกวาดไปบนอวกาศ สามมิติ ที่เขียนใน

ระบบพิกัดทรงกลม (r sin θ, Ø, φ) ให้สังเกตว่า พิกัดรัศมี มีค่า เป็น r sin θ จึงอาจกล่าวได้ว่า พิกัดทรงกลมใน R4 เกิดจากการ

รวมกัน ของพิกัดทรงกลมในสามมิติ ที่ทุกค่าของ sin θ ที่ 0 ≤ θ ≤ Π

ลูกบาศก์ในหลายมิติ

รูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญอีกรูปหนึ่งคือ ลูกบาศก์ในสามมิติ ลูกบาศ์กเป็นรูปทรงที่มีความยาวด้านทั้งหมดเท่ากัน โดยมีพื้นผิวทั้ง

หกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังรูป 1

ในบทความนี้ จะกล่างถึงลูกบาศก์ในที่มีมิติมากกว่า 3 โดยจะเริ่มต้นจากจุดศูนย์มิติในรูป 2 จุดศูนย์มิตินี้ อาจพิจารณาได้เป็น

ลูกบาศ์กศูนย์มิติ (ความจริงแล้ว จุดศูนย์มิติ สามารถมองเป็นรูปทรงศูนย์มิติอะไรก็ได้)

หากเลื่อนจุดในรูป 2 ไปทางขวา เป็นระยะหนึ่งหน่วย จะได้เส้นตรงยาวหนึ่งหน่วย ดังรูป 3 ในอีกแง่หนึ่ง สามารถมองว่า

เส้นตรงนี้เป็นลูกบาศก์ในหนึ่งมิติได้ โดยมีหน้าศูนย์มิติสองหน้า (จุดปลายทั้งสองข้าง)

หากเลื่อนเส้นตรงในรูป 3 ในทิศที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ เป็นระยะทางหนึ่งหน่วย จะได้รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ดังรูป 4 ในทำนอง

เดียวกัน สามารถมองว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นลูกบาศ์กในสองมิติได้ โดยมีหน้าหนึ่งมิติ ทั้งหมดสี่หน้า (ด้านทั้งสี่ของรูป)

เมื่อเลื่อนสี่เหลี่ยมจตุรัสในรูป 4 ออกไปในทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของรูปเป็นระยะหนึ่งหน่วย จะได้ลูกบาศก์ในสามมิติ

ดังรูป 5 ลูกบาศก์นี้มีหน้าเป็นพื้นผิวสองมิติทั้งหมดหกหน้า

โดยวิธีการเดียวกับที่กล่าวถึงมาทั้งหมดนี้ สามารถนึกภาพของลูกบาศก์ในสี่มิติได้ โดยการเลื่อนลูกบาศก์สามมิติในทิศทางที่

ตั้งฉากกับทิศทางที่ลากสี่เหลี่ยมจตุรัสให้เป็นลูกบาศก์สามมิติ ดังรูป 6 ผลลัพธ์ที่ได้คือ ลูกบาศ์กสี่มิติ ในความเป็นจริง

ลูกบาศก์สี่มิติจะมีหน้าเป็นลูกบาศก์สามมิติ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติ มีหน้าเป็นพื้นผิวสองมิติ โดยจะมีทั้งหมดแปดหน้า

แนวคิดนี้สามารถขยายไปยังลูกบาศก์ n มิติ ใด ๆ ได้ โดยลูกบาศ์ก n มิติ จะมีหน้าเป็นลูกบาศก์ n-1 มิติ ทั้งหมด 2n หน้า

แต่การวาดรูปของลูกบาศก์ที่มีมิติมากกว่าสี่ กระทำได้ยากกว่า