2. ตัวเลขที่แสดงความว่างเปล่า 

ทั่งที่ไม่มี แต่กลับมีความหมาย !?!

ตัวเลขที่แสดงความว่างเปล่า --- ศูนย์

300 ปีก่อนคริสตกาลชาวบาบิโลนสร้างวิธีการระบุตำแหน่งที่ใช้กันอยู่ในปัจจุบัน เป็นการเว้นช่องว่างของจำนวน ด้วยการขีดเส้นแนวดิ่งประมาณ 4-5 เส้นลงบนพื้น เส้นขวาสุดแทนหลักหน่วย ถัดมาเป็นหลักสิบหลักร้อยไปเรื่อยๆ แต่การเว้นช่องว่างก็ทำให้สับสน เช่น เลข 300 ต้องใช้ช่องว่างสองช่อง ซึ่งถ้าเขียนลงบนแผ่นกระดาษหรือดินเหนียวก็จะดูไม่ค่อยออก นักคณิตศาสตร์ของบาบิโลนจึงคิดสัญลักษณ์แทนช่องว่าง แต่ก็เป็นเพียงสัญลักษณ์ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของระบบตัวเลข และไม่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ

หนึ่งพันปีหลังจากอดทนต่อความยุ่งยากในการคำนวณ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียนามว่า พราหมณ์คุปตะ มหาวีระ และภัสการ สามารถคิดค้นเลขศูนย์และทำให้โลกรู้จักกับเลขศูนย์ตั้งแต่นั้น แม้ว่าหลักฐานที่ปรากฏภายหลังพบว่าผู้คิดค้นคิดเลขศูนย์ขึ้นเป็นชาติแรกคือชาวมายา แต่มายาอยู่ไกลจากยุโรปมากจึงไม่มีใครล่วงรู้ จนต้องพลาดพลั้งให้กับนักคณิตศาสตร์อินเดียทั้งสาม นิยามเกี่ยวกับเลขศูนย์ที่พราหมณ์คุปตะให้ไว้ เช่น การบวก “ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนลบ ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ และผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนบวก ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก โดยผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์ "การลบ" จำนวนลบหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก จำนวนบวกหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนลบได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนบวกได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก และจำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์”พราหมณ์คุปตะมีปัญหาเกี่ยวกับการหารเลขศูนย์ เขาสามารถบอกได้ว่า 0 คูณกับจำนวน n ใดๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ แต่เมื่อเป็นการหาร ถ้า 0 เป็นตัวตั้งก็จะได้ผลลัพธ์เป็น เศษ 0/n หรือเท่ากับ 0 และเมื่อ 0 เป็นตัวหารก็จะได้ผลลัพธ์เป็น n/0 โดย 0 หารด้วย 0 มีค่าเท่ากับ 0 ต่อมา มหาวีระ นักคณิตศาสตร์ชาติเดียวกันจึงปรับปรุงนิยามของพราหมณ์คุปตะเสียใหม่เป็น “จำนวนใดๆ คูณกับ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และจะมีค่าเท่าเดิมถ้าหักออกด้วย 0” แต่เขาก็ยังผิดพลาดเมื่อนิยามว่า “จำนวนใดๆ หารด้วย 0 จะมีค่าเท่าเดิม”

500 ปีต่อมา ภัสการนิยามการหารด้วย 0 ใหม่ว่า “จำนวนที่หารด้วย 0 จะมีค่าเป็นสัดส่วนโดยตัวส่วนเป็น 0 เศษส่วนนี้เรียกว่าจำนวนอนันต์ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีตัวส่วนเป็น 0 และไม่อาจเปลี่ยนแปลงได้ ไม่ว่าจะมีการบวกเพิ่มหรือหักออกมากเท่าใดก็ตาม เช่นเดียวกับจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นกับเทพเจ้าเมื่อโลกได้ถือกำเนิดหรือสลายไป หรือสรรพสิ่งที่ได้มอบให้(กับ)หรือออกมา(จากพระเจ้า)” แต่ก็ยังไม่สมบูรณ์อยู่ดี เพราะเขายังไม่สามารถมองทะลุไปจนถึงความจริงที่ว่า จำนวนใดๆ ไม่สามารถหารด้วย 0 ได้

การที่ชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ได้ลึกซึ้ง ส่วนหนึ่งมาจากความเชื่อทางศาสนาพราหมณ์ ฮินดู หรือพุทธ ต่างพูดถึงความว่างเปล่า นอกจากนี้ ชาวอินเดียยังเป็นอารยธรรมแรกๆ ที่มีการใช้จำนวนขนาดมโหฬารด้วย อย่างเช่น มีเทพเจ้า 330 ล้านองค์ หรือในหนังสือรามายณะซึ่งพูดถึงกองทหารจำนวนหนึ่งที่ตามด้วย 0 ถึง 62 ตัว หรือแม้แต่ความเชื่อเรื่องกลียุคที่กินเวลายาวนานถึง 432,000 ปี จำนวนเหล่านี้จะบันทึกไม่ได้เลยถ้าไม่มีเลข 0

เมื่อเลข 0 กำเนิดขึ้นจึงได้มีการนำไปใช้พัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ที่เด่นชัดที่สุดคือการที่ชาวอาหรับนำตัวเลขทั้ง 10 ตัวไปใช้อย่างแพร่หลายทั่วโลกในชื่อของ “เลขอารบิก” นั่นเอง ขึ้นต้นด้วยอินเดียแต่ดันจบท้ายด้วยอาหรับซะงั้น พูดเล่นๆ ก็คงเหมือนกับที่ชาวมายาโดนนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียขโมยซีนนั่นแหละ!

0 มีความหมายสองอย่าง

> 0 ที่หมายถึงความว่างเปล่า

ในการแสดงขนาดของจำนวนโดยใช้ตำแหน่งของหลัก

ถ้าหลักนั้น “ไม่มีอะไร” จะใช้ 0 เป็นสัญลักษณ์แสดงไว้ เช่น 43201

> 0 ที่หมายถึงจำนวน

ใช้ 0 เป็นส่วนหนึ่งในการคำนวณ เช่น 2 + 0 = 2

สิ่งที่ไม่มีเลข 0

• การนับชั้นของอาคารในประเทศญึ่ปุ่น

การนับชั้นอาคารจะเป็น ชั้น 1, ชั้น 2, ชั้น 3 ส่วนชั้นที่อยู่ด้านล่างชั้น 1 คือ ชั้นใต้ดินที่ 1, ชั้นใต้ดินที่ 2 โดยไม่มีชั้น 0

• ปีคริสต์ศักราช

ไม่มีปี ค.ศ. 0 แต่จะเริ่มปีที่ ค.ศ. 1 (ปีก่อนหน้าก็จะเป็นปีก่อนคริสต์ศักราช)

ที่มา : หนังสือ 77 เรื่องไม่คาดคิดในโลกคณิตศาสตร์

3. จำนวนที่อยู่ก่อนศูนย์ ---จำนวนลบ

การใช้จำนวนลบอย่าง -1 นั้น ว่ากันว่าเริ่มต้นเมื่อระบบการเงินพัฒนาขึ้น มีการกู้ยืมเงินกันเกิดขึ้นในสังคม ในดินแดนคาบสมุทรอาระเบีย ช่วงศตวรรษที่ 10 มีการใช้จำนวนลบเพื่อจัดการกับจำนวนเงินกู้ ส่วนทวีปยุโรปในศตวรรษที่ 13 มีบันทึกของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อฟีโบนัชชี ที่เขียนไว้ใน “หนังสือลูกคิด” ซึ่งมีการนำจำนวนลบมาใช้คำนวณเงินกู้และการขาดทุน

แต่ก่อนหน้าศตวรรษที่ 17 นั้นการคำนวณในลักษณะที่เป็นจำนวนลบ เช่น 2-5 ถือว่าทำไม่ได้ เพราะคิดเพียงว่าจำนวนก็ต้องเป็นอย่าง “จำนวนชิ้น” โดยไม่สามารถมองภาพหรือจินตนาการถึงจำนวนลบ เช่น “แอบเปิ้ล -3 ผล” ได้เลย

จำนวนลบถูกใช้อย่างแพร่หลายในช่วงที่การค้าและอุตสาหกรรมเจริญก้าวหน้า เริ่มมีเรื่องหนี้สินและการขาดทุน อีกทั้งยอดเงินกู้ก็มีขนาดใหญ่ขึ้นมากหลังยุดการสำรวจทางทะเล (ราวคริสต์ศตวรรษที่ 15-18) ในเวลานั้นมีการค้าขายที่ต้องใช้เวลาดำเนินการเป็นแรมปี ยอดเงินและจำนวนครั้งของการทำสัญญาก็เพิ่มมากขึ้น จึงจำเป็นต้องจัดทำบันทึกรายการต่างๆอย่างถูกต้อง ในช่วงนั้นเองที่ผู้คนเริ่มตระหนักว่า การบันทึกรายการขาดทุนด้วยจำนวนลบให้ความสะดวกและมีประสิทธิภาพมากในการทำบัญชี การใช้จำนวนลบจึงเริ่มแพร่หลายตั้งแต่นั้นมา

การคำนวณจำนวนลบ โดยเฉพาะการลบออกด้วยจำนวนลบ เช่น 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 จะเห็นว่า แทนที่จะลบออกด้วยจำนวนลบ เรากลับนำจำนวนบวกมาบวกเข้าไปแทน ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น การลบนั้นปรกติหมายถึงการหักออกจากสิ่งที่มีอยู่ เช่น ถ้ามีการแต่งงานระหว่างคนที่มีเงินฝาก 30 ล้าน กับคนที่มีหนี้สิน 10 ล้าน คู่สมรสนั้นก็จะมีทรัพย์สินเป็น 20 ล้าน แต่ถ้าหลังจากนั้นมีกฎหมายยกหนี้ให้ลูกหนี้ไม่ต้องใช้คืน คู่สมรสนั้นก็จะมีทรัพย์สินเป็น 30 ล้าน นั่นคือ ตอนแรกนำเงินฝาก 30 ล้านมารวมกับหนี้สิน 10 ล้าน (-10 ล้าน) แล้วเมื่อหนี้สิน -10 ล้านหมดไป (ลบออกด้วยจำนวนลบ) ทรัพย์สินก็จะกลับมาเป็น 30 ล้านตามเดิม เมื่อแสดงเป็นสูตรการคำนวณจะเป็นดังนี้ 30 ล้าน + (- 10 ล้าน) – (- 10) = 30 ล้าน – 10 ล้าน + 10 ล้าน = 30 ล้าน

 ที่มา : หนังสือ 77 เรื่องไม่คาดคิดในโลกคณิตศาสตร์

4. กุญแจสำคัญของเทคโนโลยีการเข้ารหัส --- จำนวนเฉพาะ

สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนได้เป็นกี่ชุด ?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งนิยามของจำนวนเฉพาะคือ จำนวนธรรมชาติ (ยกเว้น 1) ที่หารลงตัวด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น การที่ไม่มีจำนวนอื่นหารลงตัวยกเว้น 1 และตัวมันเอง หรือไม่มีตัวประกอบ ก็หมายถึงว่า “ไม่สามารถแบ่งย่อยลงไปได้อีก” จำนวนเฉพาะมีบทบาทสำคัญมากต่อการคำนวณเชิงตัวเลขทางคณิตศาสตร์ เพราะ จำนวนธรรมชาติใดๆ ตั้งแต่ 2 ขึ้นไป จะแยกเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ชุดเดียวเสมอ เช่น 12 แยกได้เป็น 2 x 2 x 3 (ถ้าแค่สลับตำแหน่งการคูณยังถือว่าเป็นชุดเดียวกัน) การเขียนแบบนี้เรียกว่า การแยกตัวประกอบในรูจำนวนเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติใดๆ ล้วนประกอบขึ้นจากการรวมกลุ่มของจำนวนเฉพาะ เช่นเดียวกับที่สสารใดๆ ประกอบขึ้นจากการรวมกลุ่มของอะตอม แต่ประเภทของอะตอมนั้นมีจำกัด ในขณะที่จำนวนเฉพาะมีการพิสูจน์แล้วว่ามีไม่จำกัด ที่ผ่านมามีนักคณิตศาสตร์จำนวนมากพยายามสร้างสูตรหรือค้นหากฎเกณฑ์ในการหาจำนวนเฉพาะ แต่ก็ยังไม่มีใครทำได้สำเร็จ

ในนิยามของจำนวนเฉพาะได้ยกเว้น 1 เอาไว้ เพราะถ้ายอมรับว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะเวลาแยกตัวประกอบของจำนวนใดๆ ให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะ ก็จะมีรูปแบบได้ไม่จำกัด เช่น 12 แยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 2 x 2 x 3 แต่ถ้าให้ 1 เป็นจำนวนเฉพาะด้วย 2 x 2 x 3 x 1 หรือ 2 x 2 x 3 x 1 x 1 ก็ถือเป็นอีกรูปแบบหนึ่งเช่นกัน

หลายคนอาจคิดว่าจำนวนเฉพาะไม่น่ามีส่วนเกี่ยวข้องกับการใช้ชีวิตประจำวัน แต่ความจริงเทคโนโลยีการเข้ารหัสทำให้เราช็อปปิ้งออนไลน์ได้อย่างปลอดภัยนั้นเกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะอย่างแยกไม่ได้ เช่น รหัส RSA ที่ใช้กันอย่างกันแพร่หลาย ก็สร้างขึ้นจากการนำจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนมาคูณกันแล้วใช้เข้ารหัสจำนวนอื่นๆ การถอดรหัสจำนวนที่ถูกเข้ารหัสด้วยวิธีนี้ไว้แล้ว จะต้องรู้ค่าจำนวนเฉพาะที่ใช้เข้ารหัสในตอนต้น เพราะการนำจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนมาคูณกันเป็นเรื่องที่ง่าย แต่ในทางกับกัน การค้นหาจำนวนเฉพาะจากจำนวนที่ให้มานั้นเป็นงานที่ยุ่งยากมาก อย่างเช่น ลองแยกตัวประกอบของ 60433 เป็นจำนวนเฉพาะดู … ยากมากเลยใช่ไหม (คำตอบคือ 223 x 271) และถ้าเป็นจำนวนที่มีหลายล้านหลักละก็ ถึงแม้จะใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ก็อาจไม่สามารถหาคำตอบได้ ปัจจุบันจากการเข้ารหัสข้อมูลดิจิทัลโดยใช้จำนวนเฉพาะนี้เอง ที่ทำให้เราสามารถสั่งซื้อสินค้าทางอินเตอร์เน็ตได้อย่างสบายใจ

ที่มา : หนังสือ 77 เรื่องไม่คาดคิดในโลกคณิตศาสตร์