การดำเนินการของเซต

ภาพผังเวนน์ออยเลอร์แสดงผลการดำเนินการระหว่างเซต A และ B
ที่มา วีระ ยุคุณธร

          เมื่อเราทำการจำแนกสิ่งต่าง ๆออกเป็นกลุ่ม หากเราพิจารณากลุ่ม 2 กลุ่มแล้วนำมารวมกันจะได้กลุ่มใหม่ที่มีสมาชิกจากทั้งสองกลุ่ม ในขณะเดียวกันหากเรามองหาส่วนที่ซ้ำกันระหว่างกลุ่มสองกลุ่มเราจะได้กลุ่มใหม่ที่มีขนาดเล็กกว่ากลุ่มเดิมและสมาชิกในกลุ่มใหม่เป็นสมาชิกของกลุ่มเดิมทั้งสองกลุ่ม การดำเนินการทั้งสองแบบนี้เป็นพื้นฐานของการดำเนินการเรื่องเซตเราเรียกการรวมเซตสองเซตเข้าด้วยกันว่าผลผนวก และเรียกการเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซตสองเซตว่าผลตัด

ผลผนวก

         กำหนดให้  A = { 1, 3, 5 } และ B = { 2, 4, 6 } หากนำสมาชิกของเซต A และ เซต B มารวมกันจะได้เซตใหม่ซึ่งเป็นผลผนวกของ เซต A และ เซต B เขียนแทนด้วย A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ถ้ากำหนดให้ C = {2,3,5} พิจารณา A U C = {1, 3, 5, 2, 3, 5} = { 1, 2, 3, 5 } จากทั้งสองกรณีจะเห็นว่าสมาชิกของผลผนวกจะต้องเป็นสมาชิกของเซตใดเซตหนึ่ง หรือ อาจจะเป็นสมาชิกของเซตทั้งสองเซตก็ได้ นิยามของผลผนวกจึงกำหนดได้ดังนี้

A U B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A หรือ x เป็นสมาชิกของเซต B }

คุณสมบัติของผลผนวก

1. A U A = A การนำเซตเดียวกับมารวมกันย่อมได้เซตเดิม

2. A U ( B U C ) = ( A U B) U C การนำเซต B รวมกับเซต C จากนั้นนำไปรวมกันเซต A จะได้เซตเดียวกันกับการรวมเซต A และ เซต B แล้วไปรวมกับเซต C

3. A U B = B U A การนำเซต A ไปรวมกับเซต B เป็นเซตเดียวกันกับ การนำเซต B ไปรวมกันเซต A

ผลตัด

จากการกำหนดให้  A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 4, 6 } และ C = {2,3,5} เมื่อนำสมาชิกที่ซ้ำกันทั้งหมดระหว่างเซต A และ เซต C มาสร้างเป็นเซตใหม่เรียกเซตนี้ว่าผลตัดของ เซต A และ เซต C เขียนแทนด้วย A ∩ C = { 3, 5 } ขณะเดียวกัน A ∩ B = { } เนื่องจากไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย ในกรณีแรกจะเห็นว่าสมาชิกของผลตัดจะต้องเป็นสมาชิกของเซตทั้งสองเซตดังนิยามต่อไปนี้

A ∩ B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A และ x เป็นสมาชิกของเซต B }

คุณสมบัติของผลผนวก

1. A ∩ A = A การเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซตเดียวกันย่อมได้เซตเดิม

2. A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C การเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต B กับเซต C จากนั้นนำไปเลือกส่วนที่ซ้ำกันกับเซต A จะได้เซตเดียวกันกับการเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต A และ เซต B แล้วเลือกส่วนที่ซ้ำกันกับเซต C

3. A ∩ B = B ∩ A การเลือกส่วนที่ซ้ำกันระหว่างเซต A กับเซต B เป็นเซตเดียวกันกับ การเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซต B กับเซต A

พิจารณาการดำเนินการที่มีทั้งการรวมและการเลือก

1.   A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C )

ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 4, 6 } และ C = {2,3,5}

      ( A U B ) ∩ ( A U C ) = { 1,2,3,4,5,6 } ∩ { 1,2,3,5 } = {1,2,3,5}

                A U ( B ∩ C ) = { 1, 3, 5 } U { 2,3 } = {1,2,3,5}

2. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 5, 6 } และ C = {2,3,5}

       ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )= { 1,5 } ∩ { 5 } = { 5}

       A U ( B ∩ C ) = { 1, 3, 5 } U { 5 } = { 5 }

ผลต่าง

       เมื่อเซต A และ เซต B มีสมาชิกบางส่วนที่ซ้ำกันและเราต้องการนำสมาชิกของเซต A ที่ซ้ำกับเซต B ออกจะเห็นว่าเซตนั้นจะต้องเป็นเซตที่มีสมาชิกของเซต A และ ต้องไม่เป็นสมาชิกในเซต B เราเรียกเซตนี้ว่า ผลต่างของ A และ B นิยามได้ดังนี้

       A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B }

      นิยามข้างต้นเรากล่าวถึง x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เราสามารถรวบรวมสมาชิกทั้งหมดที่ไม่ใช้สมาชิกของเซตฺBและเรียกเซตนี้ว่าส่วนเติมเต็มของ B เขียนแทนด้วย B^C นั้นคือ ถ้า x ไม่ใช่สมาชิกของเซต B แล้ว x จะต้องเป็นสมาชิกของ B^C ดังนั้นนิยามของผลต่างสามารถเขียนในรูปของผลตัดได้ดังนี้

       A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A แต่ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต B }

      A – B = { x, x เป็นสมาชิกของเซต A และ x เป็นสมาชิกของเซต B^C }

      A – B = A ∩ B^C

ผลต่างสมมาตร

          ผลตัดเป็นการดำเนินการโดยเลือกส่วนที่ซ้ำกันของเซตสองเซตแต่หากเราสนใจส่วนที่ไม่ซ้ำกันสามารถอธิบายได้ด้วยผลต่างสมมาตรของเซตสองเซตนั้นคือ

      A Δ B = (A – B) U (B – A)

ตัวอย่างเช่นให้ A = { 1, 3, 5 }  B = { 2, 5, 6 }

       A Δ B = (A – B) U (B – A)

       A Δ B = { 1,3 } U { 2,6 }

       A Δ B = { 1,2,3,6 }

จะเห็นว่า 1, 2, 3 และ 6 เป็นสมาชิกที่อยู่ในเซต A หรือ เซต B เซตใดเซตหนึ่ง

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

ผลคูณและผลแบ่งกั้นของเซต

          ตัวดำเนินการพื้นฐานของเซตประกอบด้วยการรวมและการเลือก นำมาซึ่งผลการดำเนินการมากมายเช่นผลผนวก ผลตัด ผลต่าง ผลต่างสมมาตร ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงผลคูณของเซตที่ซึ่งเป็นการจับคู่ระหว่างเซตสองเซตอย่างมีลำดับ และเป็นบทนำไปสู่การศึกษาเรื่องความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน และหัวข้อสุดท้ายของเรื่องเซตจะเป็นการศึกษาเกี่ยวกับผลแบ่งกั้นที่ถูกประยุกต์ใช้มากในการจัดการข้อมูลและระบบ 

 ภาพที่ 1 โครงสร้างระบบจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร

ผลคูณของเซต

         กำหนดให้  A = { a,b,c } และ B = { 1,2,3,4 } สังเกตว่าเซตสองเซตเป็นปริมาณสองชนิดที่แตกต่างกัน หากเราต้องการจับคู่สมาชิกระหว่างเซตสองเซตนี้และเขียนในรูปของคู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกของเซต A และ B ตามลำดับจะได้

      (a,1)     (a,2)     (a,3)    (a,4)

      (b,1)    (b,2)   (b,3)   (b,4)

      (c,1)     (c,2)    (c,3)    (c,4)

         เมื่อเรารวบรวมการจับคู่เหล่านี้เข้าเป็นเซตเราเรียกเซตใหม่ที่ได้นี้ว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B แทนด้วยA x B = { (a,1), (a,2),(a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4) }

นิยามโดยทั่วไปได้ว่า       A x B = { (a,b) , a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B }

แต่ถ้าหากเราพิจารณา B x A จะได้

      (1,a)     (2,a)     (3,a)    (4,a)

      (1,b)    (2,b)    (3,b)   (4,b)

      (1,c)     (2,c)     (3,c)    (4,c)

      B x A = { (1,a), (2,a),(3,a), (4,a), (1,b), (2,b), (3,b), (4,b), (1,c), (2,c), (3,c), (4,c) }

      จะว่า A x B ไม่เท่ากับ B x A แต่ n(A x B) เท่ากับ n(B x A) นิยามคำว่าคูณที่สมนัยกับการคูณของจำนวนจริงจึงหมายถึงการคูณของจำนวนสมาชิกตามกฏต่อไปนี้

      n(A x B) = n(A) x n(B)

      หากเราพิจารณาผลคูณของเซตมากกว่าหนึ่งเซต สมมติให้ A₁, A₂, A_{3, .}..., A_k เป็นเซตใด ๆแล้ว

      A₁ x A₂ x  A₃ x _.... A_k = { (a₁,a₂,…,a_k), a_n เป็นสมาชิกของ A_n สำหรับ n =1,2,3,…k }

      เราเรียกสมาชิกในผลคูณว่าว่าเวกเตอร์เช่นตัวอย่าง กำหนดให้ B = { 0, 1 } จะได้ว่า B³ = B x B x B = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) } ในทางคอมพิวเตอร์เราเรียกตัวอย่างข้างต้นว่าสายบิตนิยมเขียนเป็น 000 001 010 011 100 101 110 111 เมื่อแปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐาน 10 จะได้ 0,1,2,…,7 ตามลำดับ

ผลแบ่งกั้น

      ก่อนจะกล่าวถึงผลแบ่งกั้น ผู้เขียนจะยกตัวอย่างการแบ่งกั้นพื้นที่ทั่วไปก่อนเพื่อเป็นแนวทางในการนิยามผลแบ่งกันในเซต พิจารณารูปที่ 2

ภาพการแบ่งกั้นพื้นที่สี่เหลี่ยม A

       จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยม A ถูกแบ่งออกเป็น 6 ส่วนโดยที่แต่ละส่วนไม่มีส่วนที่ซ้ำกันเลยถ้าเรารวบรวม A₁, A₂, … , A₆ เป็นเซตเราจะเรียกเซตนี้ว่าผลแบ่งกันของ A เรานิยามผลแบ่งกั้นของเซตจากข้อสังเกต 1. คือผลผนวกของสมาชิกในผลแบ่งกั้นจะต้องเป็นเซต A และ สมาชิกแต่ละคู่ของผลแบ่งกั้นจะต้องไม่มีส่วนที่ซ้ำกัน กำหนดด้วยนิยามในเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

เราจะกล่าวว่า S = { A₁, A₂, … , A_n } เป็นผลแบ่งกั้นของเซต A ก็ต่อเมื่อ

1. A₁ U A₂ U … U A_n = A
2. A _i ∩ A _j = { } สำหรับ i ≠ j

ผลแบ่งกั้นถูกนำมาใช้เพื่อจำแนกประเภทของสิ่งต่าง ๆ หรือการจัดข้อมูลเป็นระดับชั้น ตัวอย่างเช่นหากเราพิจารณาประเภทของจำนวนเต็มเราสามารถแบ่งเซตของจำนวนเต็ม Z ออกได้เป็นหลายประเภทเช่น

1. จำนวนเต็มบวก (Z⁺) จำนวนเต็มลบ (Z^-) จำนวนเต็มศูนย์ (Z⁰) เนื่องจาก Z = Z⁺ U Z^- U Z⁰ และ Z⁺ ∩ Z^- = Z^- ∩ Z⁰ = Z⁰ ∩ Z⁺ = { } นั้นคือ { Z⁺, Z^-, Z⁰ } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม
2. จำนวนคู่ ( E ) และจำนวนคี่ ( O ) เนื่องจาก Z = E U O และ E ∩ O = { } ดังนั้น { E , O } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม
3. เศษเหลือ เช่นแบ่งตามเศษเหลือของ 5 จะได้ดังนี้

       [0] = { …, -10, -5, 0, 5, 10, … }

       [1] = { …, -9, -4, 1, 6, 11, … }

       [2] = { …, -8, -3, 2, 7, 12, … }

       [3] = { …, -7, -2, 3, 9, 13, … }

       [4] = { …, -6, -1, 4, 9, 14, … }

      จะเห็นได้โดยง่ายว่า { [0], [1], [2], [3], [4] } เป็นผลแบ่งกั้นของจำนวนเต็ม

       ชุดข้อมูล (Data set) เป็นการเก็บข้อมูลเชิงตัวเลขหลายผลแบ่งกั้นเช่น

       กำหนดให้เลข 2 หลักแรกหมายถึง ลำดับของผู้ถูกสำรวจ { 01, 02,…, 99}

       กำหนดให้เลขหลักที่ 3 และ 4 แทนเพศ { 01 = ชาย, 02 = หญิง }

       กำหนดให้เลข 2 หลักสุดท้ายหมายถึง คณะที่ศึกษา { 01=คณะวิทยาศาสตร์, 02 = คณะครุศาสตร์, 03 = คณะมนุษยศาสตร์, 04 = คณะวิทยาการจัดการ, 05 = คณะเทคโนโลยีอุตสาหกรรม}

       หากเราต้องการเก็บข้อมูลของผู้ถูกสำรวจไว้เป็นความลับวิธีการหนึ่งคือเก็บข้อมูลในเชิงตัวเลขซึ่งจะมีเพียงผู้ที่รวบรวมข้อมูลเพื่อวิเคราะห์เท่านั้นที่สามารถอ่านข้อมูลได้ตัวอย่างเช่นปรากฏข้อมูลเชิงตัวเลข

        120105 แปลได้ว่า ผู้ถูกสำรวจลำดับที่ 12 เป็นเพศชายศึกษาในคณะเทคโนโลยีอุตสาหกรรม

        980201 แปลได้ว่า ผู้ถูกสำรวจลำดับที่ 98 เป็นเพศหญิงศึกษาในคณะวิทยาศาสตร์

        ซึ่งการเก็บช้อมูลเชิงตัวเลขจะมีประโยชน์สำหรับการดึงข้อมูลผ่านฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เช่นหากเราต้องการดึงข้อมูลผู้ถูกสำรวจคณะวิทยาศาสตร์สามารถทำการ print ด้วยการคำนวณ x mod 100 == 3 เป็นต้น

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.