ดอกเบี้ยทบต้น และการผ่อนจ่าย

        ในการลงทุนถ้าการคิดดอกเบี้ยเป็นแบบดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายงวด มูลค่าเงินในแต่ละงวดจะเปลี่ยนไปตามเวลา หากพิจารณาความสัมพันธ์เชิงคณิตศาสตร์จะเป็นความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิด กำหนดให้ P เป็นมูลค่าเงินปัจจุบัน และ r เป็นผลตอบแทนหรืออัตราดอกเบี้ย และให้ i เป็นสถานะของเงินในแต่ละงวด กำหนดให้ P(0) เป็นมูลค่าเงินปัจจุบันในสถานะเริ่มต้น P(1) จะเป็นมูลค่าของเงินในสถานะงวดที่ 1

P(1) = P(0) + rP(0) = (1 + r)P(0)

P(2) = P(1) + rP(1) = (1 + r)P(1)

                                                                 ….

อุปนัย                                 P(i) = P(i – 1) + rP(i – 1) = (1 + r)P(i – 1)

สำหรับ i = 1, 2, 3, …

          รูปแบบความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถหาคำตอบทั่วไปได้โดยวิธีการทำซ้ำจาก

P(1) = (1 + r)P(0)

P(2) = (1 + r)P(1) = (1 + r)(1 + r)P(0) = (1 + r)²P(0)

P(3) = (1 + r)P(2) = (1 + r)(1 + r)²P(0) = (1 + r)³P(0)

                   …

อุปนัย                      P(i) = (1 + r)ⁱP(0)

ตัวอย่างที่ 1 นำเงินไปฝากธนาคารจำนวน 100,000 บาท โดยธนาคารให้อัตราดอกเบี้ย 1.3 %ต่อปี  ถ้าปล่อยบัญชีทิ้งไว้อย่างน้อย 5 ปีจะมียอดเงินในบัญชีอย่างน้อยเท่าไหร่

          วิธีทำ มูลค่าเงินปัจจุบัน P(0) = 100,000 อัตราดอกเบี้ย r = 0.013 ฝากจำนวน 5 ปีให้อัตราดอกเบี้ย 1 งวดต่อปีจะได้จำนวนงวด i = 5 มูลค่าเงินในงวดที่ 5 ประมาณ

          P(5) = (1 + 0.013)⁵ x (100,000) = 106671

          สรุปได้ว่าการฝากเงิน 100,000 บาทกับธนาคารที่ให้อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 1.3 อย่างน้อย 5 ปีโดยไม่มีการฝากเพิ่มจะมีเงินในบัญชีในอนาคตอย่างน้อย 106,671 บาท

ตัวอย่างที่ 2 ถ้าการฝากเงินกับธนาคารจำนวน 200,000 บาทโดยไม่ฝากเงินเพิ่มกำหนดมูลค่าเงินในอนาคตไว้ที่ 300,000 บาท  โดยธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละ 1.5 ทุก ๆ 6 เดือนจะต้องฝากเงินไว้อย่างน้อยกี่ปี

          วิธีทำ มูลค่าเงินปัจจุบัน P(0) = 200,000 สมมติฝากเงินไว้จำนวน N งวดทำให้มูลค่าเงินในอนาคต P(N) = 300,000 เนื่องจากธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.5 % ต่อปีคิดเป็น r = 0.75 % ต่องวด จากสูตร P(i) = (1 + r)ⁱP(0) จะได้

          Log(P(N) / P(0)) = N x Log(1 + r)

          ดังนั้น N = Log(P(N) / P(0)) / Log(1 + r) = Log(300,000) / 200,000) / Log(1+0.0075)] = 54.26

           สรุปได้ว่าหากต้องการผลตอบแทนจากการลงทุน 200,000 บาทเป็น 300,000 บาทโดยการฝากธนาคารที่ให้อัตราดอกเบี้ย 1.5 % ต่อปีแต่ให้ดอกเบี้ยทุก ๆ 6 เดือน จะต้องฝากทิ้งไว้ 55 งวด เป็นระยะเวลา 27 ปี 6 เดือน

          Effective yield

          ในกรณีที่คิดดอกเบี้ยทบต้น n* งวดต่อปี สัดส่วนของเงินในอนาคตและเงินปัจจุบันเมื่อลงทุน t ปีเท่ากับ (1 + r)^n*t ถ้าเราพิจารณาอัตราดอกเบี้ย R ของสัดส่วนของเงินในอนาคตและเงินปัจจุบันเมื่อลงทุน t ปี

          (1 + Y)^t จะได้ว่า  Y = (1 + r)^n* – 1

ตัวอย่างที่ 3 ธนาคารแห่งหนึ่งอนุมัติเงินกู้โดยคิดอัตราดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีโดยคิดดอกเบี้ยรายวัน จงหา effective rate ที่เกิดขึ้นใน 30 วัน

          วิธีทำ อัตราดอกเบี้ยต่องวดร้อยละ r = 28 / 365 จาก Y = (1 + r)^n* – 1 = (1 + 28/36500)³⁰ – 1 = 0.0233 จะเห็นว่าอัตราดอกเบี้ยทบต้น 28 % ต่อปีจากการกู้เงิน 30 วันทำให้เกิดดอกเบี้ยประมาณ 2.33 %

เงินผ่อนหรือเงินสะสมรายเดือน

          สถานะการเงินปัจจุบัน = สถานะการเงินก่อนหน้า + ดอกเบี้ย + เงินฝาก

          A(n) = A(n – 1) + rA(n – 1) + d = (1 + r)A(n – 1) + d

          หารูปแบบทั่วไปโดยการทำซ้ำ

A(1) = (1 + r) A(0) + d

A(2) =(1 + r)A(1) + d = (1 + r)²A(0) + (1 + r + 1)d

A(3) = (1 + r)A(2) + d = (1 + r)³A(0) + [(1+r)² + (1+r) + 1]d

A(4) = (1 + r)A(3) + d = (1 + r)⁴A(0) + [(1 + r)³ + (1+r)² + (1+r) + 1] d

…..

อุปนัย                      A(N) = (1 + r)^N A(0) + d((1 + r)^N – 1) / (1 + r – 1)

สมมติให้สถานะที่ 0 มีเงิน 0 บาทนั้นคือ A(0) = 0

                             A(N) = (d / r)[(1 + r)^N – 1]

ตัวอย่างที่ 4 วางแผนการออมเงินเดือนละ 1,000 บาทโดยได้ผลตอบแทนเป็นดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 1.5 ต่อปีโดยให้ดอกเบี้ยทบต้นทุก ๆ 6 เดือน ถ้าออมเงินจำนวน 5 ปีจะมีผลตอบแทนเท่าใด

          วิธีทำ ทำการฝากเงินเดือนละ 1000 บาทต่อเดือนเท่ากับฝาก d = 6,000 บาท ต่อ งวด ในอัตราดอกเบี้ย 1.5 %/ ต่อ ปี r = 0.75 % ต่อ งวด ฝากเงินระยะเวลา 5 ปี N = 10 งวด จากสูตร

          A(N) = (d / r)[(1 + r)^N – 1] = (6000/0.0075)[(1 + 0.0075)¹⁰ – 1] = 62,066.03 บาท

          ในกรณีของการชำระหนี้สมมติให้ สถานะที่ 0 ของบัญชีคือยอดเงินกู้ A(0) เมื่อผ่อนชำระไป N งวดยอดคงเหลือเท่ากับศูนย์บาท A(N) = 0 สามารถหายอดที่ต้องผ่อนชำระต่อเดือน d ได้จาก

          A(N) = (1 + r)^N A(0) + d((1 + r)^N – 1) / (1 + r – 1)

                                   0 = r(1 + r)^NA(0) + d((1 + r)^N – 1)

                                     d  = r(1 + r)^NA(0) / [(1 + r) ^N – 1]

                                         = -rA(0) / [1 – (1+r)^-N]

ตัวอย่างที่ 5 กู้เงินมาจำนวน 1,000,000 บาทในอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 8 ต่อปี กำหนดการผ่อนชำระจำนวน 10ปี จะต้องผ่อนชำระเดือนละกี่บาท

          วิธีทำ  อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 8 ต่อปี ผ่านชำระเป็นเวลา 10 ปี คิดเป็นจำนวนงวด N = 120 งวดจะได้ดอกเบี้ยร้อยละ r = 8 x 10 / 120 = 0.67 ต่องวด ยอดเงินกู้ A(0) =1,000,000 บาท

          d = -0.0067(1,000,000) / [1 – (1+0.0067)^-120] = -12,154

          ดังนั้นจะต้องผ่อนจ่ายรายเดือนเดือนละ 12,154 บาท

แหล่งที่มา

Hillman A.P. and Alexanderson G.L. (1971). Algebra to Problem Solving. Allyn and Bacon, Inc. USA.

Smith K.J., (1992). Collage Mathematics and Calculus with Applications to Management, Life and Social sciences 2^nd edition. Brooks/Cole Publishing company. USA.

ญาณพล แสงสันต์ และคณะ เอกสารประกอบการบรรยาย การจัดการการลงทุน มหาวิทยาลัยรามคำแหง

 กองทุนรวม

        ในบทเรียนก่อนหน้านี้ ผู้เรียนได้เป็นตัวอย่างการลงทุนประเภทออมทรัพย์ ในส่วนนี้ผู้เขียนจะแนะนำถึงการลงทุนในรูปแบบที่เรียกว่ากองทุนรวม (Mutual Funds) ซึ่งเป็นการระดมทุนจากบุคคลทั่วไป นิติบุคคล หรือสถาบันต่าง ๆไปลงทุนต่อในตลาดหลักทรัพย์ โดยมีผู้จัดการกองทุนเป็นผู้ควบคุมดูแลผลประโยชน์ให้เป็นไปตามวัตถุประสงค์ นโยบายตามที่สำนักงานคณะกรรมการหลักทรัพย์และตลาดหลักทรัพย์อนุมัติ

          กองทุนรวมจะมีการคำนวณราคาและมูลค่าทรัพย์สินทุกวันทำการ มูลค่าทรัพย์สินสุทธิ Net Asset Value (NAV) คำนวณได้จาก

NAV = Market Value of Assets - Liabilities

          Market Value of Asset คือมูลค่าทรัพย์สินตามตลาด ผลตอบแทนสะสม และ เงินสด

          Liabilities คือ ค่าใช้จ่ายของกองทุน และหนี้สิน

NAVต่อหน่วย = NAV / Number of Shares Outstanding

          เป็นค่าที่เอาคำนวณในการซื้อขายกองทุน

ตัวอย่างที่ 1 ต้องการลงทุนในกองทุน A ซึ่งมีงบลงทุน 10,000 บาท ถ้ากองทุนกำหนดราคาขายหน่วยละ 10 บาท จะสามารถซื้อหน่วยลงได้ 10,000 / 10 = 1,000 หน่วยลงทุน

          แต่อย่างไรก็ตามแต่ละกองทุนจะมีการอัตราค่าธรรมเนียมในการซื้อ ขาย หรือค่าใช้จ่ายการแลกเปลี่ยนสกุลเงินในกองทุนที่ลงทุนในต่างประเทศซึ่งจะมีการชี้แจงในหนังสือชี้ชวน และที่สำคัญในการซื้อ ขายกองทุน เราจะไม่ทราบราคาปิดครั้งสุดท้ายทำให้การซื้อขายเนื่องจาก NAV จะถูกประกาศ ณ สิ้นวันทำการ

          ข้อดีของการลงทุนผ่านกองทุน

1. มีสภาพคล่องในการซื้อ ขายหน่วยลงทุนเป็นไปตามมูลค่าต่อหน่วย ปัจจุบันสามารถซื้อขายกองทุนผ่านแอพพลิเคชันของธนาคารต่าง ๆได้ด้วยตนเอง

2. กองทุนมีการจัดการเพื่อกระจายความเสี่ยง ในแต่ละกองทุนจะมีการเลือกลงทุนในสินทรัพย์ที่หลากหลายตามที่ระบุในหนังสือชี้ชวน

3. กองทุนรวมมีมืออาชีพที่มีความเชี่ยวชาญด้านการลงทุนเป็นผู้บริหารกองทุน

4. กองทุนรวมจะความหลากหลายให้ผู้ลงทุนเลือกลงทุนได้ตามความต้องการ

5. สามารถเลือกซื้อกองทุนที่ลงทุนตามดัชนีตลาดหลักทรัพย์ที่ให้อัตราผลตอบแทนใกล้เคียงกับการลงทุนในตลาดหลักทรัพย์

6. กองทุน RMF SSF สามารถนำไปลดหย่อนภาษีได้

          ภาษีจากการลงทุนสำหรับบุคคลธรรมดา มูลค่าเพิ่มจากการลงทุนได้รับการยกเว้นภาษีเงินได้ สำหรับกองทุนที่มีการจ่ายปันผล เงินปันผลจะถูกหักภาษี ณ ที่จ่ายจึงไม่ต้องนำไปรวมกับรายได้อื่นเพื่อเสียภาษีประจำปี

     อัตราผลตอบแทนของกองทุนรวมสำหรับผู้ลงทุนในกองทุน ผู้ลงทุนในกองทุนจะได้รับผลตอบแทนจากกำไรสุทธิที่กองทุนได้รับจากการขายหลักทรัพย์

     อัตราผลตอบแทนใช่ช่วงถือครองหลักทรัพย์ (HPR) = [รายได้ + (ราคาขาย – ราคาซื้อ)] / ราคาซื้อ

ตัวอย่างที่ 2 ในการลงทุนซื้อกองทุนมีค่า NAV เริ่มต้น NAVⁱ = 5.48 บาท และ NAV สิ้นสุด NAV^f = 5.52 ได้รับเงินปันผล 0.4 บาทต่อหน่วยลงทุนจะได้อัตราผลตอบแทนจากการลงทุนในกองทุนเท่าใด

          วิธีทำ รายได้จากการปันผล = 0.4 บาท หากทำการขาย ราคาซื้อ = 5.48 และราคาขาย = 5.52 จะได้อัตราผลตอบแทนจากการลงทุนในกองทุน

         [0.4 + (5.52 – 5.48)] / 5.48 = 0.08 = 8%

          อย่างไรก็ตามหากเราลงทุนในหลายกองทุน การเปรียบเทียบอัตราผลตอบแทนควรพิจารณาจากอัตราผลตอบแทนต่อปีคำนวณได้จาก

         (1+HPR)^1/t – 1

ตัวอย่างที่ 3 ถ้าถือครองกองทุนเป็นเวลา 5 ปี ได้ปันผลรวม 2.0 บาทต่อหน่วยลงทุน ต้นทุนหน่วยลงทุนละ 5. 48 ราคาขายอยู่ที่ 5.21 อัตราผลตอบแทนต่อปีมีค่าเท่าใด

          วิธีทำ ค่า HPR = [2.0 + (5.21 – 5.48)] / 5.48 = 0.3156 = 31.56% ถือหน่วยลงทุนเป็นเวลา t = 5 ปี ดังนั้นอัตราผลตอบแทนต่อปีเท่ากับ

         (1 + 0.3156)^1/5 – 1= 0.0563 = 5.63 %

ประเภทกองทุนรวม

• กองทุนรวมตราสารทุน (equity fund) ลงทุนในตราสารทุนไม่ต่ำกว่า 65% ของทรัพย์สินสุทธิของกองทุน

• กองทุนรวมตราสารหนี้ (fixed income fund) ลงทุนในเงินฝาก ตราสารหนี้ การหาดอกผลหลักทรัพย์หรือสินทรัพย์

• กองทุนรวมผสม (mixed fund) ลงทุนตามนโยบายของบริษัทจัดการกองทุน อาจกำหนดสัดส่วนตราสารทุนต่ำกว่า 65% ของทรัพย์สินสุทธิ หรือ อาจจัดการสัดส่วนตามความเหมาะสมของสถานการณ์

• กองทุนรวมที่ลงทุนในต่างประเทศ (foreign investment fund) เป็นกองทุนที่ขายหน่วยลงทุนในประเทศเพื่อไปลงทุนในต่างประเทศ

• กองทุนรวมเพื่อการเลี้ยงชีพ (Retirement Mutual Fund) ส่งเสริมการออกระยะยาวเพื่อการเลี้ยงชีพของผู้ถือหน่วยลงทุน

• กองทุนเพื่อการออม (Super Save Fund) เป็นกองทุนเพื่อส่งเสริมการออมระยะยาวรองรับสังคมผู้สูงอายุที่จะเกิดขึ้นในอนาคต

• กองทุนสำรองเลี้ยงชีพ เป็นเงินทุนสะสมของพนักงานและนายจ้าง ที่ลูกจ้างจะได้รับเมื่อไม่มีงานทำและไม่มีเงินเดือน

           โดยกองทุนที่ 5, 6 และ 7 เป็นกองทุนที่นำไปลดหย่อนภาษีได้ ยังมีกองทุนอีกหลายประเภทที่ผู้เขียนไม่ได้กล่าวไว้ ณ ที่นี้ อาทิ กองทุนรวมวายุภักษ์ กองทุนรวมดัชนี กองทุนรวมคุ้มครองเงินต้น เป็นต้น อย่างไรก็ตามสิ่งสำคัญสำหรับการซื้อกองทุน ผู้ลงทุนจะต้องทำความเข้าใจหนังสือชี้ชวนเสนอขายหน่วยลงทุน ในหนังสือชี้ชวนจะแจ้งข้อมูลสำคัญประกอบด้วย

• ชื่อกองทุน ประเภทของกองทุน และอายุของโครงการ

• รายละเอียดเงินทุน และทรัพย์สินของโครงการ จำนวนและราคาหน่วยลงทุน

• นโยบายและวัตถุประสงค์ของกองทุน

• วันที่เสนอขายกองทุน

• สถานที่ติดต่อซื้อขายหน่วยลงทุน

• ข้อมูลและช่องทางติดต่อผู้ดูแลผลประโยชน์ นายทะเบียน และผู้สอบบัญชี

• ข้อมูลรายละเอียดการซื้อขายหน่วยลงทุน กำหนดการ ระยะเวลาในการดำเนินการขายและซื้อคืนหน่วยลงทุน

• หลักเกณฑ์และข้อกำหนดระยะเวลาการถือ การกำหนดรับซื้อคืนหน่วยลงทุน

• คำเตือนและข้อเสนอแนะอื่นเช่น ระดับความเสี่ยงเป็นต้น

• ข้อมูลรายละเอียดการลงทุนของโครงการ

แหล่งที่มา

Hillman A.P. and Alexanderson G.L. (1971). Algebra to Problem Solving. Allyn and Bacon, Inc. USA.

Smith K.J., (1992). Collage Mathematics and Calculus with Applications to Management, Life and Social sciences 2^nd edition. Brooks/Cole Publishing company. USA.

ญาณพล แสงสันต์ และคณะ เอกสารประกอบการบรรยาย การจัดการการลงทุน มหาวิทยาลัยรามคำแหง