การแก้อสมการ คือ การหาเซตคำตอบของอสมการ ซึ่ง ในที่นี้จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริงและ ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับช่วง ในที่นี้จะแบ่งการแก้อสมการออกเป็นหลายๆรูปแบบดังนี้

รูปแบบที่1การแก้อสมการกำลังหนึ่งอย่างง่าย p(x) < q(x)

การแก้อสมการประเภทนี้สามารถทำได้คล้ายๆกันกับการแก้สมการ โดยข้อแตกต่างจะมาจากการที่คำตอบของอสมการนั้นจะเป็นช่วงของจำนวนจริงแทน ยกตัวอย่างเช่น

จงแก้อสมการต่อไปนี้ 3x – 2 < 2x + 5

วิธีทำ xxxxxx3x – 2 < 2x + 5

xxxxxxxxxx 3x – 2x < 5 + 2

xxxxxxxxxxxxxxxxx x < 7

ดังนั้นเซตคำตอบคือ (–∞, 7)

ข้อสังเกตจะเห็นได้ว่า ขั้นตอนการแก้อสมการนี้เหมือนกันการแก้สมการ ข้อแตกต่างเพียงแค่เปลี่ยน x = 7 ไปเป็น x < 7

รูปแบบที่2การแก้อสมการกำลังหนึ่งโดยทั่วไป p(x) < q(x) < r(x)

การแก้อสมการรูปแบบนี้ให้ทำการแปลงสมการให้เป็นรูปแบบใหม่ก่อนคือ p(x) < q(x) และ q(x) < r(x) เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

จงแก้อสมการต่อไปนี้ 3x – 2 ≤ 2x + 5 < 5x – 6

วิธีทำจะได้ nnnnnnnnnn3x – 2 ≤ 2x + 5 และ 2x + 5 < 5x – 7

3x – 2x ≤ 5 + 2 และ 5 + 7 < 5x – 2x

x ≤ 7 และ 4 < x

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, 7] ∩(4, ∞) = (4, 7]

รูปแบบที่3การแก้อสมการกำลังมากกว่าหนึ่ง

การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง มีขั้นตอนดังนี้

1. จัดรูปของสมการให้ข้างใดข้างหนึ่งของสมการเป็นศูนย์ และจัดอีกข้างของสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารโดยการแยกตัวประกอบอย่างเช่น

2. นำค่าวิกฤตทั้งหมดที่ได้มาไปเขียนไว้ในเส้นจำนวน ยกตัวอย่างเช่น

3. เลือกช่วงที่ค่า x ทำให้อสมการเป็นจริงโดยการเขียนช่วงที่ทำให้อสมการมีค่ามากกว่าศูนย์ (+) และ น้อยกว่าศูนย์ (-) จากขวามือไปซ้ายมือตามลำดับ เช่น

เพื่อให้เห็นภาพและเข้าใจได้ง่ายขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่างดังต่อไปนี้

จงแก้อสมการต่อไปนี้ x3– 2x2< x – 2

วิธีทำ 1. เขียนอสมการใหม่ได้เป็น x3– 2x2– x + 2 < 0

2. แยกตัวประกอบได้ดังนี้ (x + 1)(x – 1)(x – 2) < 0

3. เขียนค่าวิกฤตบนเส้นจำนวนได้ดังนี้

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, -1] ∩(1, 2)

รูปแบบที่4การแก้อสมการกำลังมากกว่าหนึ่งในกรณีที่มีตัวประกอบซ้ำ

การแก้สมการรูปแบบนี้สามารถแยกเป็นสองกรณีคือ

ในกรณีที่nเป็นจำนวนเต็มบวก เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น(x-a1)(x-a3) ≤ 0

ในกรณีที่nเป็นจำนวนเต็มลบ เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น (x-a1)(x-a3) ≤ 0 และ x ≠a2

ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น(x-a1)(x-a2)(x-a3) ≤ 0

ในกรณีที่ n เป็นจำนวนเต็มลบ เราสามารถเขียนอสมการใหม่ได้เป็น (x-a1)(x-a2)(x-a3) ≤ 0และ x ≠ a2

วิธีทำจะได้

การแก้อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์สามารถแยกพิจารณาตามลักษณะของอสมการได้ดังนี้

รูปแบบที่1การใช้คุณสมบัติของจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์ในการแปลงอสมการ

แบ่งได้เป็นสองกรณีคือ

1. |y| > k สามารถแปลงได้เป็น y < -k หรือ y > k
2. |y| < k สามารถแปลงได้เป็น -k < y < k

ตัวอย่างจงแก้อสมการ |2x - 3| < x + 7

วิธีทำเขียนอสมการใหม่ได้เป็น -(x + 7) < 2x - 3 < x + 7

vvvvแก้อสมการตามปกติ จะได้

-(x + 7) < 2x - 3 และ2x - 3 < x + 7

-4 < 3x และx < 10

-4/3 < x และx < 10

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (-4/3, 10)

__________________________________________________________________________________________________________________

รูปแบบที่2 ใช้คุณสมบัติยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการได้ดังนี้

1. |p(x)| < |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) < q2(x)
2. |p(x)| > |q(x)| สามารถแปลงอสมการได้เป็น p2(x) > q2(x)

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |2x – 3| ≥ |x – 4|

วิธีทำ ยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการจะได้

(2x – 3)2 ≥ (x – 4)2

(2x – 3)2 – (x – 4)2 ≥ 0

4x2 – 12x + 9) – (x2 – 8x + 16) ≥ 0

3x2 – 20x – 7 ≥ 0

(3x – 1) (x + 7) ≥ 0

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞,–7] υ [1/3, ∞)

___________________________________________________________________________________________

รูปแบบที่3 การใช้คุณสมบัติของอสมการ |a + b| < |a| + |b| ก็ต่อเมื่อ ab < 0

จากคุณสมบัตินี้ เราสามารถเขียนอสมการใหม่จาก |p(x) + q(x)| < | p(x) | + | q(x) |ไปเป็น p(x) q(x) < 0

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้ |x2 – x + 1| < |2x – 1| + |x2 – 3x + 2|

วิธีทำ เขียนสมการใหม่ได้เป็น

(2x – 1)( x2 – 3x + 2) < 0

(2x – 1) (x – 1) (x – 2) < 0

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, 1/2] υ (1, 2)

__________________________________________________________________________________________________

รูปแบบที่4 การแยกพิจารณาเป็นช่วงๆ

ในกรณีที่อสมการไม่สามารถแก้ได้โดยการใช้รูปแบบที่กล่าวมาแล้ว

ให้แยกพิจารณาเป็นช่วงๆตามค่าวิกฤตที่หาได้จากนิพจน์ที่มีค่าสัมบูรณ์

เช่น |x – 2| ซึ่งจะได้ค่าวิกฤตเป็น 2 เป็นต้น

เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น ลองพิจารณาจตัวอย่างต่อไปนี้

วิธีทำ จากอสมการข้างบน จะเห็นได้ว่า ค่าวิกฤตสำหรับค่าสัมบูรณ์มี 2 ค่า คือ -1 และ 2/3
นำไปเขียนช่วงการพิจารณาในเส้นจำนวนได้ดังนี้

กรณีที่1 x ≤ -1

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ จะเห็นได้ว่า ค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองนิพจน์มีค่าน้อยกว่าศูนย์
เพราะฉะนั้น เราจะเขียนอสมการใหม่ได้เป็น

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–∞, –1] ∩ (–6, –2) = (–6, –2)

กรณีที่2 -1< x < 2/3

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (–1, 2/3) ∩ (0, 1/4) = (0, 1/4)

กรณีที่3 x ≥ 2/3

สำหรับช่วงการพิจารณานี้ เขียนอสมการใหม่ได้เป็น

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ [ 2/3, ∞) ∩ (-1, 0) = Ø

เมื่อรวมทุกคำตอบของทุกช่วงจะได้ (–6, –2] υ (0, 1/4) υ Ø = (–6, –2] υ (0, 1/4)