ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เราจะบอกเพียงแค่ขนาดหรือทิศทางอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ได้ เราต้องระบุทั้งขนาดและทิศทางจึงจะเรียกว่า เวกเตอร์ เพราะการระบุแค่ขนาดหรือทิศทางอย่างใดอย่างหนึ่งนั้นจะทำให้การสื่อความหมายอาจไม่ตรงกัน เช่น ครูออกคำสั่งกับนักเรียนทุกคนว่า “ให้นักเรียนทุกคนลุกขึ้นจากเก้าอี้แล้วเดินไปคนละ 5 เมตร” เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ นักเรียนทุกคนเดินไปคนละ 5 เมตร แต่ว่านักเรียนแต่ละคนก็จะเดินไปคนละทิศทาง เพราะไม่รู้ว่าครูสั่งให้เดินไปทางไหน เพราะคำสั่งของครูมีแต่ขนาด คือ 5 เมตร แต่ขาดทิศทางซึ่งก็ถือว่าไม่เป็นปริมาณเวกเตอร์ และถ้าครูออกคำสั่งใหม่ว่า  “ให้นักเรียนทุกคนเดินไปทางทิศเหนือ” ซึ่งนักเรียนทุกคนก็จะเดินไปทางทิศเดียวกันคือทิศเหนือ ซึ่งในขณะที่เดินนั้นนักเรียนทุกคนก็จะสงสัยว่าให้เดินไปไกลเท่าไรเพราะคำสั่งของครูมีแต่ทิศทางแต่ไม่มีขนาด จึงไม่จัดว่าเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นเราจึงเห็นความสำคัญของขนาดและทิศทางว่าจะต้องบอกทั้ง 2 อย่างด้วยกันจึงจะเป็นเวกเตอร์ได้ เราสามารถพบปริมาณเวกเตอร์ได้ เช่น การกระจัด  ความเร็ว ความเร่ง แรง น้ำหนักโมเมนตัม สนามแม่เหล็ก

ภาพการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการวาดรูป
ที่มา: กัญญา  เกื้อกูล

สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์

         การแสดงขนาดและทิศทางของปริมาณเวกเตอร์จะใช้ลูกศรแทน โดยขนาดของปริมาณเวกเตอร์แทนด้วยความยาวของลูกศรตามอัตราส่วนที่เหมาะสม และทิศทางของปริมาณเวกเตอร์แทนด้วยทิศทางของหัวลูกศร

        เวกเตอร์เท่ากัน หมายถึง เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน

        เวกเตอร์ตรงข้ามกัน หมายถึง เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ตรงข้ามกัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่ทิศทางตรงข้ามกัน

การบวกลบเวกเตอร์

การบวก-ลบปริมาณเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ลัพธ์ สามารถทำได้ 2 วิธีคือ

         1) วิธีการเขียนรูป

         2) วิธีคำนวณ

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว มีขั้นตอนดังนี้

         1) เขียนลูกศร แทนเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด

         2) นำหางลูกศร แทนเวกเตอร์ที่ 2 ต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์แรก

         3) นำหางลูกศรแทนเวกเตอร์ที่ 3 ต่อกับหัวลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2

         4) ถ้ามีเวกเตอร์ย่อย ๆ อีก ให้นำเวกเตอร์อันต่อ ๆ ไป มากระทำดังข้อ 3 จนครบทุกเวกเตอร์

         5) เวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ย่อย ๆ เหล่านั้นหาได้โดยการลากลูกศรจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวลูกศรของเวกเตอร์อันสุดท้าย ลูกศรที่ลากนี้แทนด้วยขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขั้นตอนดังนี้

         1) เมื่อทราบขนาดและทิศทางของแรงให้เขียนเส้นแสดงขนาดและทิศทางของแรงทั้งหมด แล้วเขียนลูกศร แทนเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด

         2) นำหางลูกศร แทนเวกเตอร์ที่ 2 ต่อกับหางของลูกศรของเวกเตอร์แรก

         3) ลากเส้นประต่อจากหัวลูกศรของแรงทั้งสอง ตามขนาดของและทิศทางของที่เส้นประขนาน เพื่อสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยม

         4) ลากเส้นทแยงของรูปสี่เหลี่ยมจากหางลูกศรไปยังมุมตรงข้าม ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ของแรงทั้งสอง โดยทิศทางของหัวลูกศรจะชี้ออกจากหางลูกศรของแรงทั้งสองไปยังมุมตรงข้าม

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ

         เนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูปให้ผลลัพธ์ที่ไม่แม่นยำ เพียงแต่ได้คร่าว ๆ เท่านั้น เพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อยผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่หากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอน

 เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์เท่านั้น

         - ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง

         - ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองสวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของขนาดเวกเตอรลัพธ์ทั้งสองทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่า

         - ถ้าเวกเตอร์สองเวกเตอร์ทำมุมตั้งฉากกัน เราสามารถคำนวณหาขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ได้โดยการใช้สูตรของพีทาโกรัสมาช่วยในการคำนวณ และสามารถหาทิศทางของเวกเตอร์ได้โดยใช้หลักการวาดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

         เวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์มีขนาดมากที่สุดเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางไปทางเดียวกัน และมีขนาดน้อยที่สุด เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางตรงข้ามกัน

ตัวอย่างที่ 1  เวกเตอร์ A ขนาด 5 หน่วย, เวกเตอร์ B  ขนาด 4 หน่วย จงหาขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B ที่เป็นไปไม่ได้

1. 1 หน่วย  2. 5 หน่วย  3. 8 หน่วย  4. 10 หน่วย

เฉลย คำตอบที่ถูกต้องคือ ข้อ 4  เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ รวมแล้วมากที่สุด เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองไปทางเดียวกันเวกเตอร์ลัพธ์มีค่าเท่ากับผลบวกของเวกเตอร์ทั้งสอง (5+4 = 9) และเวกเตอร์ลัพธ์มีค่าน้อยสุดเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองสวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีค่าเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง (5-4=1) ดังนั้นขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 9  ซึ่งข้อ 4 ได้ระบุขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B เป็น 10 หน่วย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นข้อ 4 ถูก

ตัวอย่างที่ 2 เวกเตอร์ขนาด 3 หน่วย และ เวกเตอร์ขนาด 4 หน่วย ทำมุมตั้งฉากกัน จงหาเวกเตอร์ลัพธ์

วิธีทำ เมื่อเรารู้ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ทั้งสอง สามารถหาขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ได้ดังนี้

                            R² = A² + B²

                                = 3² + 4²

                            R² = 25

                             R = 5 หน่วย

ดังนั้นเวกเตอร์ลัพธ์มีขนาด 5 หน่วย

แหล่งที่มา

กอบนวล  จิตตินันทน์. (2537). วิทยาศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ:ภูมิบัณฑิต

จรัญ  บุระตะ. (2555). ฟิสิกส์ เล่ม 1 ม. 4-6. กรุงเทพฯ:นิพนธ์.

นิรันดร์  สุวรัตน์. (2554). คัมภีร์วิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์ ม.ต้น.  กรุงเทพฯ:พัฒนา.

           ในชีวิตประจำวันของเราต้องพบกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการใช้แรงชนิดต่าง ๆ อยู่เสมอไม่ว่าจะเป็นการเคลื่อนที่ของตัวเราเองหรือการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ ซึ่งการเคลื่อนที่ของตัวเรานั้นไม่ว่าจะเป็นการเดินการวิ่ง เราต้องออกแรงเพื่อให้ร่างกายของเราขยับและเคลื่อนไหว โดยใช้พลังงานจากกระบวน การเผาผลาญอาหาร และที่เท้าของเราต้องออกแรงกระทำต่อพื้นถนนซึ่งพื้นถนนก็จะออกแรงกระทำต่อเท้าเราเพื่อออกแรงกระทำต่อวัตถุเสมอซึ่งเมื่อเราออกแรงกระทำให้วัตถุมีการเคลื่อนที่โดยเราออกแรงกระทำต่อวัตถุอย่างสม่ำเสมอก็จะมีผลทำให้วัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอัตราเร็วและความเร็วโดยถ้าเราออกแรงกระทำต่อวัตถุในทิศทางเดียวกันกับ  การเคลื่อนที่ก็จะทำให้วัตถุเคลื่อนที่โดยมีความเร็วเพิ่มขึ้นและถ้าเราออกแรงกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ในทิศทางตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ก็จะทำให้วัตถุเคลื่อนที่โดยมีความเร็วลดลง นอกจากแรงมีผลทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่แล้วแรงยังมีผลทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่างได้อีกด้วย เช่น เมื่อเราออกแรงกดที่ก้อนดินน้ำมันก็จะมีผลทำให้ก้อนดินน้ำมันเปลี่ยนแปลงรูปร่างไป ดังนั้นแรงที่กระทำต่อวัตถุสามารถทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากมาย เช่ย ทำให้วัตถุที่อยู่นิ่งเกิดการการขยับและเคลื่อนที่ หรือทำให้วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่หยุดนิ่งได้และทำให้วัตถุมีการเปลี่ยนรูปร่างไป และนอกจากนี้ยังพบอีกว่าถ้ามีแรงลัพธ์ของแรงสองแรงกระทำต่อวัตถุหนึ่งโดยแรงทั้งสองกระทำต่อวัตถุในทิศทางเดียวกันแรงลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับผลรวมของแรงทั้งสอง แต่ถ้าแรงทั้งสองกระทำต่อวัตถุในทิศทางตรงข้ามกัน แรงลัพธ์ที่ได้ก็จะมีค่าเท่ากับผลต่างของแรงทั้งสองนั้น

ภาพการออกแรงกระทำต่อวัตถุมวล m เคลื่อนที่ด้วยระยะ s
ที่มา: กัญญา  เกื้อกูล

          แรง (force) เป็นผลมาจากการใช้พลังงานที่กระทำต่อวัตถุมีผลทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่างหรือวัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ เช่น การออกแรงยกหรือแบกวัตถุ การออกแรงผลักกล่อง การออกแรงกระทำกับตะปูในขณะที่ใช้ค้อนตอกตะปูหรือการที่คนยืนนิ่งอยู่กับที่และวัตถุวางอยู่นิ่ง ๆ ก็ยังพบว่ามีแรงกระทำต่อคนที่ยืนนิ่งอยู่กับที่และวัตถุที่วางอยู่นิ่ง ๆ

          ถ้าพิจารณาแรงที่กระทำต่อกล่องใบหนึ่ง โดยคนออกแรงผลักกล่องไปทางขวามือ จะพบว่า มีแรงที่กระทำต่อกล่องดังนี้ แรงที่คนออกแรงผลักกระทำต่อกล่อง และมีแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำต่อกล่องในทิศลง ซึ่งก็คือน้ำหนักของกล่องนั่นเอง และที่ผิวสัมผัสระหว่างกล่องกับพื้นก็ยังมีแรงที่พื้นดันกล่องขึ้นในแนวดิ่ง และถ้าพิจารณากรณีคนหรือวัตถุที่วางอยู่นิ่ง ๆ ก็จะมีแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำต่อคนหรือวัตถุในทิศลงซึ่งก็คือน้ำหนักของคนและวัตถุ และที่เท่าของคนก็จะมีแรงที่พื้นดันเท้าขึ้นในแนวดิ่งนั่นเอง จากการที่มีแรงกระทำต่อวัตถุในลักษณะต่าง ๆ นั้นทำให้เราสนใจที่จะศึกษาว่าแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นมีขนาดเท่าใดและมีทิศทางอย่างไร

 ขนาดและทิศทางของแรง

          เมื่อเราออกแรงกระทำต่อวัตถุและทำให้วัตถุเกิดการเคลื่อนที่ การหาขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุหรือน้ำหนักของวัตถุนั้น เราสามารถทำได้โดยใช้เครื่องชั่งสปริงวัด ซึ่งจากการใช้เครื่องชั่งสปริงชั่งน้ำหนักของวัตถุในแนวดิ่ง ค่าที่อ่านได้จากเครื่องชั่งสปริง คือน้ำหนักของวัตถุนั้น ส่วนการใช้เครื่องชั่งสปริงลากหรือดึงวัตถุให้เคลื่อนที่ไปตามแนวราบ ค่าที่อ่านได้จากเครื่องชั่งสปริง คือ ขนาดของแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้น ถ้าเราใช้เครื่องชั่งสปริงดึงวัตถุให้เคลื่อนที่จะพบว่า วัตถุเคลื่อนที่ไปตามทิศทางเดียวกับแรงดึงและเมื่อเพิ่มจำนวนของวัตถุให้มากขึ้นพบว่าแรงที่อ่านได้จากเครื่องชั่งสปริงก็มีค่าเพิ่มขึ้น สรุปได้ว่าแรงที่กระทำต่อวัตถุเป็นปริมาณเวกเตอร์ เพราะเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นเมื่อมีแรงที่อยู่ในแนวเดียวกันมากระทำต่อวัตถุเดียวกันหลาย ๆ แรงเราสามารถรวมแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นได้ เมื่อมีแรงตั้งแต่สองแรงขึ้นไปมากระทำต่อวัตถุก้อนเดียวกัน เปรียบเสมือนว่ามีแรงเพียงเดียวเท่านั้นที่กระทำต่อวัตถุ เรียกว่าแรงลัพธ์ และวัตถุจะเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของแรงลัพธ์เสมอ

          การรวมแรงตั้งแต่สองแรงที่กระทำต่อวัตถุ หรือ การหาแรงลัพธ์

          - แรงที่กระทำต่อวัตถุมีทิศทางเดียวกันและขนานกัน เราสามารถหาแรงลัพธ์ได้โดยนำขนาดของแรงทั้งสองมารวมกัน และทิศทางของแรงลัพธ์มีทิศทางตามแนวแรง

          - แรงที่กระทำต่อวัตถุมีทิศทางตรงข้ามกันและขนานกัน สามารถหาขนาดของแรงได้โดยการนำขนาดของแรงทั้งสองมาหักล้างกัน  และทิศทางของแรงลัพธ์มีทิศทางตามแนวแรงที่มีขนาดมากกว่า

          - ถ้าแรงสองแรงทำมุมตั้งฉากกันสามารถคำนวณหาได้โดยใช้สูตรของพีทาโกรัส และทิศทางของแรงสามารถหาได้โดยการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือใช้สูตรคำนวณดังต่อไปนี้

หาขนาด

                               R² = (F₁)² + (F₂)²

หาทิศทาง

                               tan = sin θ /cos θ

          - ถ้าแรงสองแรงทำมุมใด ๆ ต่อกัน สามารถหาแรงลัพธ์ได้ใช้สูตรคำนวณหาขนาดของแรงลัพธ์ โดยใช้สมการต่อไปนี้

หาขนาด

                            R² = (F₁)² + (F₂)² +  (2)(F₁)(F₂) cos θ

         หาทิศทาง

                             tan = F₂ sins θ /(F₁ + F₂sins θ)

แหล่งที่มา

กอบนวล  จิตตินันทน์. (2537). วิทยาศาสตร์ ม.2.กรุงเทพฯ:ภูมิบัณฑิต

จรัญ  บุระตะ. (2555). ฟิสิกส์ เล่ม 1 ม. 4-6. กรุงเทพฯ:นิพนธ์.

นิรันดร์  สุวรัตน์. (2554). คัมภีร์วิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์ ม.ต้น.  กรุงเทพฯ:พัฒนา.