การเคลื่อนที่แบบวงกลม

       การเคลื่อนที่แบบวงกลม เป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติอีกแบบหนึ่ง ที่ทิศทางของแรงกระทำหรือความเร่งของวัตถุจะมีทิศที่เปลี่ยนไปตลอดเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ โดยจะมีทิศตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนที่ของวัตถุตลอดเวลา คือจะมีทิศอยู่ในแนวรัศมีของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่

ภาพที่ 1 การเคลื่อนที่แบบวงกลม
ที่มา: https://www.bbc.com/news/uk-england-stoke-staffordshire-32972169

การเคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับ

        การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวงกลมในแนวระดับ เช่น แกว่งวัตถุที่ผูกติดปลายเชือกให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวระดับ ลักษณะของการเคลื่อนที่เป็นดังภาพ

ภาพที่ 2 การเคลื่อนที่แบบวงกลมของวัตถุ

ที่มา: กัญญา เกื้อกูล

       วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็ว v  คงตัว จะมีแรงลัพธ์มากระทำกับวัตถุในทิศพุ่งเข้าสู่ศูนย์กลาง และตั้งฉากกับทิศของความเร็วในแนวเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ทำให้เกิดความเร่งในทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ แรงลัพธ์นี้จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง F_c มีขนาดเท่ากับ มวล m คูณความเร่งสู่ศูนย์กลาง a_c

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบวงกลม

       คาบ (T) หมายถึง เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ  มีหน่วยเป็น วินาที (s)

       ความถี่ (f)  หมายถึง จำนวนรอบที่เคลื่อนที่ได้ในเวลา 1 วินาที่ มีหน่วยเป็น ต่อวินาที (s^-1) หรือ เฮิรตซ์ (Hz)

       อัตราเร็วเชิงมุม (ω) หมายถึง อัตราส่วนของมุมที่วัตถุเคลื่อนที่เบี่ยงเบนไปจากแนวเดิม (เท่ากับมุมที่รัศมีวงกลมกวาดไป) ต่อเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ มีหน่วยเป็น เรเดียนต่อวินาที (rad/s)

       อัตราเร็วเชิงเส้น (v)  หมายถึง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ 1 รอบ ต่อเวลา 1 รอบ มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที (m/s)

ตัวอย่างที่ 1  ข้อใดกล่าวถูกต้อง และข้อใดกล่าวผิด เกี่ยวกับการแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวระดับด้วยอัตราเร็วคงตัว

     1.1 เป็นการเคลื่อนที่ที่มีความเร็วคงตัว

     ตอบ ผิด เพราะมีขนาดของความเร็วหรืออัตราเร็วคงตัว ความเร็วไม่คงตัวทิศการเคลื่อนที่เปลี่ยนตลอด

     1.2 เป็นการเคลื่อนที่แบบไม่มีความเร่ง

     ตอบ ผิด เพราะ มีความเร่งเนื่องจากความเร็วไม่คงตัว

     1.3 แรงลัพธ์ที่กระทำกับวัตถุเป็นศูนย์

     ตอบ ผิด เพราะ แรงลัพธ์ไม่เป็นศูนย์ เพราะมีความเร่ง

    1.4 ความเร่งมีทิศทางเดียวกันกับความเร็ว

    ตอบ  ผิด เพราะ ความเร่งมีทิศทางเดียวกันกับความเร็วที่เปลี่ยนไป และตั้งฉากกับทิศของความเร็วขณะนั้น ๆ  ซึ่งอยู่ในแนวเส้นสัมผัสส่วนโค้ง

   1.5 อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

   ตอบ ถูกต้อง อัตราเร็วคงตัว อัตราเร็วเฉลี่ยจะเท่ากับอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

   1.6 มวลของวัตถุไม่มีผลต่อขนาดความเร่ง

   ตอบ ผิด เพราะ มวลของวัตถุมีผลต่อขนาดความเร่ง  a_c=F_c/m

   1.7 แรงสู่ศูนย์กลางคงตัว และไม่เท่ากับศูนย์

   ตอบ  ผิด เพราะ ขนาดแรงสู่ศูนย์กลางคงตัว และไม่เท่ากับศูนย์ แต่แรงสู่ศูนย์กลางไม่คงตัว เพราะทิศทางเปลี่ยนไปตามแนวรัศมีของวงกลมในขณะเคลื่อนที่

   1.8 เมื่อรู้ คาบ สามารถหาความถี่ และอัตราเร็วเชิงมุมได้

   ตอบ ถูกต้อง เพราะ เมื่อรู้ คาบ (T) สามารถหา ความถี่ f =1/T และ อัตราเร็วเชิงมุม ω = 2π/T ได้

1.9 วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความถี่สูง ขนาดแรงสู่ศูนย์กลางจะมากด้วย

   ตอบ ถูกต้อง เพราะ เมื่อ ความถี่ (f) สูงขึ้นค่าของความเร็ว (v) จะมากขึ้นตาม  v= 2πf ทำให้  F_c  มากขึ้นด้วย F_c = mv²/r

การเคลื่อนที่แบบวงกมในระนาบดิ่ง

      การเคลื่อนที่ของวัตถุแบบวงกลมในระนาบดิ่ง เช่น แกว่งวัตถุที่ผูกติดปลายเชือกให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมในระนาบดิ่ง ลักษณะของการเคลื่อนที่จะเป็นดังภาพ แรงลัพธ์ของแรงดึงเชือก T  และน้ำหนักของวัตถุ mg ทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง F_c ทำให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี r ด้วยอัตราเร็ว  v โดยที่ F_c = mv²/r

ภาพที่ 3 การเคลื่อนที่แบบวงกมในระนาบดิ่ง

ที่มา : กัญญา  เกื้อกูล

จากภาพที่ 3 เราสามารถหาค่าของแรงดึงเชือก T ที่ตำแหน่งต่าง ๆ ได้ดังนี้

ที่ตำแหน่ง A

     T_A –mg = mv²/r

     T_A = mv²/r + mg

ที่ตำแหน่ง B

    T_B –mgcos θ = mv²/r

    T_B = mv²/r + mgcos θ

ที่ตำแหน่ง C

     T_C = mv²/r

ที่ตำแหน่ง D

     T_D +mg = mv²/r

     T_D  = mv²/r – mg

     จากการหาค่าแรงตึงเชือก T ที่ตำแหน่งต่าง ๆ ของวงกลม จะพบว่าที่ตำแหน่งต่างมีค่าแรงตึงเชือก T ไม่เท่ากัน แรงตึงเชือกที่จุดต่ำสุดมีค่ามากที่สุด ที่จุดสูงสุดมีค่าน้อยที่สุด  และอัตราเร็วของการเลื่อนที่ v  ไม่สามารถรักษาให้คงตัวได้ต้องเป็นไปตามหลักการอนุรักษ์พลังงานโดย v จะมากที่สุดที่ตำแหน่ง A และลดลงจนน้อยที่สุดที่ D  และอัตราเร็วน้อยที่สุดที่ตำแหน่ง D ที่ทำให้วัตถุสามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้ครบรอบพอดี โดยแรงตึงในเส้นเชือก T = 0 หาได้จาก

     T_D +mg = mv²/r

     0 +mg = mv²/r

       v_min = (rg)^1/2

ตัวอย่างที่ 2    ข้อใดกล่าวถูกต้อง และข้อใดกล่าวผิด เกี่ยวกับการแกว่งวัตถุให้เคลื่อนที่แบบวงกลมในแนวดิ่ง

2.1 น้ำหนักของวัตถุไม่มีผลต่อแรงตึงเชือก

     ตอบ ผิด เพราะ น้ำหนักของวัตถุมีผลต่อขนาดของแรงตึงเชือก ถ้าเชือกไม่อยู่ในแนวระดับ

2.2  อัตราเร็วของวัตถุคงตัว

      ตอบ ผิด เพราะอัตราเร็วของวัตถุไม่คงตัว เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

2.3 ที่จุดสูงสุดแรงตึงเชือกมีค่ามากที่สุด

     ตอบ ผิด เพราะ ที่จุดสูงสุดแรงตึงเชือกมีค่าน้อยที่สุด

2.4 ที่จุดต่ำสุดแรงตึงเชือกมีค่าน้อยที่สุด

     ตอบ ผิด เพราะ ที่ต่ำสูงสุดแรงตึงเชือกมีค่ามากที่สุด

2.5  อัตราเร็วน้อยที่สุดที่ทำให้วัตถุสามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้ครบรอบพอดี ไม่ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุ

      ตอบ ถูกต้อง เพราะ อัตราเร็วน้อยที่สุด v_min ที่ทำให้วัตถุสามารถเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้ครบรอบ

      พอดี ขึ้นอยู่กับรัศมีของวงกลม r  และ ค่าความโน้มถ่วง g

2.6 ขนาดแรงตึงเชือกคงตัวเท่ากับ mv²/r

     ตอบ ผิด เพราะ ขนาดแรงตึงเชือกไม่คงตัว ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของวัตถุ

แหล่งที่มา

กฤตนัย(สมชาย) จันทรจตุรงค์.  (2558).  ฟิสิกส์:เรื่องที่ 6 การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์และวงกลม. นนทบุรี:ธรรมบัณฑิต.

จรัญ บุระตะ.  (2558).  คู่มือ เรียนรู้ด้วยตนเอง (Self Study) ฟิสิกส์ ม.4-6 เล่ม 1.  กรุงเทพ:นิพนธ์.

Caroline Lowbridge. (2015, June 2). Retrieved October 13, 2018, from https://www.bbc.com/news/uk-england-stoke-staffordshire-32972169

การเคลื่อนที่บนทางโค้ง

       เมื่อเรานั่งอยู่ในรถแล้วรถคันนั้นมีการเลี้ยว เราจะมีความรู้สึกว่ามีแรงมากระทำต่อตัวเราในแนวที่มีทิศพุ่งออกจากจุดศูนย์กลางความโค้งของการเลี้ยว

ภาพที่ 1 การเคลื่อนที่ของรถจักรยานยนต์บนทางโค้ง
ที่มา : https://unsplash.com/photos/HHunRG19kF8 , //unsplash.com/@jneric">Joe Neric

การเคลื่อนที่บนทางโค้งราบของรถยนต์

ภาพที่ 2 การเคลื่อนที่ของรถยนต์บนทางโค้ง
ที่มา : https://unsplash.com/photos/0EEckXvEsSM , Alex Holyoake

       จากภาพที่ 2 รถยนต์ที่เคลื่อนที่เป็นทางโค้งผลของการเลี้ยวทำให้ผู้โดยสารหรือวัตถุที่อยู่ในรถมีสภาพการเคลื่อนที่เปลี่ยนแปลงไป ซึ่งจากกฎการเคลื่อนที่ข้อ 1 ของนิวตัน  วัตถุทั้งหลายจะพยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่ของตัวเอง ผู้โดยสารหรือวัตถุที่อยู่ข้างในรถจะพยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่ของตน  โดยพยายามเคลื่อนที่ต่อไปเป็นเส้นตรงตามแนวเดิม ผู้โดยสารหรือวัตถุจึงพยายามกลับเข้าหาแนวการเคลื่อนที่เดิม ทำให้ผู้โดยสารหรือวัตถุในรถมีความรู้สึกว่ามีแรงมากระทำในทิศพุ่งออกจากจุดศูนย์กลาง การที่รถยนต์สามารถเลี้ยวตามความโค้งของถนนได้โดยไม่ไถลออกไปนอกถนนทั้ง ๆ ที่รถพยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่นั้น เป็นเพราะถนนออกแรงเสียดทานกระทำต่อรถ โดยแรงเสียดทานนี้คือแรงเสียดทาน หรืออาจจะเป็นแรงเสียดทานสถิต

ภาพที่ 3 การเคลื่อนที่ของรถยนต์บนทางโค้ง
ที่มา : www.digitalschool.club/digitalschool/physics2_2_2/physics1/lesson4/index4.php

        จากภาพที่ 3  แรง f_s ทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง  f_s = F_c  เราสามารถหาขนาดความเร็วของรถยนต์ที่ทำให้รถวิ่งเข้าโค้งได้อย่างปลอดภัยได้ดังนี้

        จาก                                                  f_s = F_c 

                                                          0 < f_s ≤ μ_sN

       จะได้                                      0 < F_c ≤ μ_sN

                                                     0 < f_s ≤ μ_sN

                                             0 < mv²/r   ≤ μ_smg

                                              0 < v²/rg   ≤ μ_s

                                                   0 < v  ≤ (μ_srg)^1/2

การเลี้ยวของรถจักรยาน

     เมื่อรถจักรยานหรือจักรยานยนต์เลี้ยวโค้ง ผู้ขับขี่ต้องเอียงตัวรถเป็นมุมค่าหนึ่ง มิฉะนั้นจะเกิดโมเมนต์เนื่องจากแรงปฏิกิริยาจากพื้นมากระทำแก่ตัวรถ ซึ่งจะทำให้รถล้มได้ ดังนั้นจึงมีแรงที่พื้นกระทำต่อรถจักรยานเมื่อมีการเลี้ยว ซึ่งมีด้วยกัน  2 แรง ได้แก่

1)  แรงปฏิกิริยาในแนวตั้งฉากกับพื้น N แรงนี้มีสาเหตุมาจากการที่จักรยานออกแรงกดถนน

2)  แรงเสียดทาน f แรงนี้มีสาเหตุจากการที่รถจักรยานพยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่ของตัวเองทำให้รถจักรยานพยายามพุ่งกลับไปยังแนวการเคลื่อนที่เดิมในแนวที่ออกจากจุดศูนย์กลางแรง R คือ แรงลัพธ์ของแรง f และ N

      จะเห็นได้ว่า ถ้าคนขับไม่เอียงตัวรถให้ทำมุมกับแนวดิ่ง จะทำให้ระยะตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางมวลของคนและจักรยานกับแนวแรง R ไม่เป็นศูนย์ทำให้โมเมนต์เนื่องจากแรงลัพธ์ของแรง f  และ  N รอบจุดศูนย์กลางมวลของรถจักรยานทำให้จักรยานล้มลง

      ในการเลี้ยวรถจักรยานผู้ขับขี้จึงจำเป็นต้องเอียงตัวรถจนทำให้แนวแรงลัพธ์ R  มีทิศผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังภาพ โดยโมเมนต์ของแรงเท่ากับผลคูณระหว่างขนาดของแรงกับระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนถึงแรงนั้น ดังนั้นเมื่อแนวแรง R มีทิศพุ่งผ่านจุดศูนย์กลางมวลแล้ว ระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุน ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางมวล ถึงแนวแรง R จะมีค่าเป็นศูนย์ทำให้โมเมนต์ของแรง R รอบจุดศูนย์กลางมวลก็จะมีค่าเป็นศูนย์จึงเลี้ยวจักรยานได้โดยไม่ล้ม

ภาพที่ 4 รถจักรยานกำลังเคลื่อนที่เลี้ยวโค้ง
ที่มา : http://www.atom.rmutphysics.com/charud/oldnews/0/286/5/cir-mo/index4.5.htm

         จากภาพที่ 4 จะเห็นได้ว่าเมื่อเอียงทำมุม θ กับแนวดิ่ง แรงปฏิกิริยา R ก็มีทิศทำมุม θ กับแนวดิ่งไปด้วยจึงสามารถแตกแรง R นี้เป็น

         แรงในแนวราบ  =  Rsinθ  =  แรงเสียดทาน f

         และ     แรงในแนวดิ่ง   =  Rcosθ  =  แรงปฏิกิริยา N

        เนื่องจากรถจักรยานไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งทำให้จักรยานสมดุลในแนวนี้ และเพราะว่ามีแรงกระทำต่อจักรยานในแนวดิ่ง 2 แรง ได้แก่ น้ำหนัก mg ทิศลง และแรง Rcosθ ทิศขึ้น

        ดังนั้น                     Rcosθ = mg  ……………(1)

        แต่จักรยานเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบโดยมีแรง Rsinθ มากระทำในแนวนี้เพียงแรงเดียวทำให้จักรยานไม่สมดุลในแนวราบ

        จากสมการ                                 F  = ma

        จะได้                        Rsinθ = mv²/r  ………….(2)

        (2)/(1) จะได้              tanθ  = v²/rg

        จากสมการข้างต้นจะเห็นว่า มุมที่รถจะต้องเลี้ยวนั้นขึ้นอยู่กับอัตราเร็วของรถและรัศมีความโค้งของถนน

การวิ่งของรถยนต์บนถนนยกระดับ

       วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะพยายามรักษาสภาพการเคลื่อนที่ของตนด้วยการพยายามเคลื่อนที่ต่อไปเป็นแนวเส้นตรงวัตถุจึงมีแนวโน้มที่จะไถลกลับไปยังแนวเส้นทางการเคลื่อนที่เดิม ดังนั้นการขับรถไปตามทางโค้งจึงค่อนข้างอันตรายเพราะรถอาจจะแฉลบออกนอกถนนได้

      ดังนั้นในการสร้างถนนสามารถลดอันตรายได้ โดยการยกระดับถนนให้เอียงทำมุมกับพื้นราบ ซึ่งจะทำให้รถที่มีความเร็วที่เหมาะสมสามารถเลี้ยวผ่านไปได้โดยไม่เกิดอันตรายถึงแม้ว่าถนนนั้นจะไม่มีแรงเสียดทาน (กรณีฝนตก ถนนลื่น)

การคำนวณหามุมในการยกถนนได้ดังนี้

ภาพที่ 5 การเคลื่อนที่ของรถยนต์บนพื้นยกระดับ
ที่มา : ณสรรค์  ผลโภค

               จากภาพที่ 5   R เป็นแรงปฏิกิริยาที่พื้นถนนกระทำต่อรถ เพื่อตอบสนองต่อการที่รถออกแรงกดถนนในแนวที่ตั้งฉากกับผิวสัมผัส เพราะว่าแรง R ตั้งฉากกับผิวถนน จึงแตกแรง R ออกได้เป็น

                แรงในแนวราบ = Rsinθ

                และ     แรงในแนวดิ่ง   = Rcosθ

                เนื่องจากรถไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งรถจึงสมดุลในแนวนี้

                ทำให้                       Rcosθ = mg   ………(1)

                และรถเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ โดยมีแรง Rsinθ เป็นแรงสู้ศูนย์กลาง

                ทำให้                 Rsinθ = mv²/r   …………(2)

                (2)/(1)  จะได้         tanθ = v²/rg

                จากสมการ รถที่มีอัตราเร็วพอเหมาะหรือต่ำกว่า สามารถเคลื่อนที่เป็นทางโค้งรัศมี r ไปตามถนนที่เอียงทำมุม θ กับแนวระดับได้อย่างไม่ลื่นไถลแม้ถนนจะลื่น

แหล่งที่มา

จรัญ บุระตะ.  (2558).  คู่มือ เรียนรู้ด้วยตนเอง (Self Study) ฟิสิกส์ ม.4-6 เล่ม 1.  กรุงเทพ: นิพนธ์.

ณสรรค์  ผลโภค.  (2559).  ฟิสิกส์ เล่ม 1 กลศาสตร์.  กรุงเทพ: Science center.