แนวทางการ “เปลี่ยนปัญหา” เพื่อแก้ปัญหา ทางคณิตศาสตร์

     การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ นอกจากผู้เรียนจะต้องมีความรู้พื้นฐานที่เพียงพอและเข้าใจกระบวนการแก้ปัญหาเป็นอย่างดีแล้ว การเลือกใช้ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่เหมาะสมและมีประสิทธิภาพก็เป็นปัจจัยหนึ่งที่ช่วยให้การแก้ปัญหานั้นประสบผลสำเร็จ กลุ่มยุทธวิธีการแก้ปัญหาที่ช่วย “เปลี่ยนปัญหา” ให้เราสามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างยากหรือมีความซับซ้อนได้ง่ายขึ้นและประสบความสำเร็จมีหลากหลายยุทธวิธี

ยุทธวิธีการแก้ปัญหาในกลุ่มนี้ที่จะแนะนำมี 3 ยุทธวิธี ได้แก่ 1) การเปลี่ยนรูปประโยคปัญหา (Restate the Problem) 2) การทำปัญหาให้ง่าย (Simplify the Problem) 3) การแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อย (Solve Part of the Problem) (Ng, 2008) ซึ่งแนวทางการใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาแต่ละยุทธวิธีและตัวอย่างการใช้งาน มีรายละเอียดดังนี้

1. การเปลี่ยนรูปประโยคปัญหา (Restate the Problem)

     สำหรับบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ภาษาในโจทย์ค่อนข้างซับซ้อน ยากต่อการทำความเข้าใจและคิดหาวิธีแก้ปัญหา การใช้ยุทธวิธีการเปลี่ยนรูปประโยคปัญหาช่วยในขั้นตอนของการทำความเข้าใจปัญหา โดยเริ่มจากอ่านปัญหาอย่างตั้งใจ มองปัญหาในมุมอื่น ๆ และลองเปลี่ยนรูปประโยคของปัญหาเป็นภาษาที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น แต่ยังคงมีความหมายเช่นเดิมกับปัญหาตั้งต้น การทำเช่นนี้จะช่วยให้สามารถเข้าใจบริบทของปัญหาและสามารถระบุส่วนประกอบต่าง ๆ ของโจทย์ได้โดยง่าย ลองดูตัวอย่างปัญหาที่สามารถใช้ยุทธวิธีการเปลี่ยนรูปประโยคปัญหา

ตัวอย่างที่ 1 ก้อยมีดินสอแบบเดียวกันและยางลบแบบเดียวกัน หากก้อยวางเรียงดินสอ 3 แท่ง และยางลบ 5 ก้อนต่อกันจะวัดความยาวได้ 60 เซนติเมตร หากวางเรียงยางลบ 9 ก้อน และดินสอ 3 แท่งต่อกันจะวัดความยาวได้ 72 เซนติเมตร ยางลบมีความยาวก้อนละกี่เซนติเมตร

     เราอาจใช้ยุทธวิธีการเปลี่ยนรูปประโยคปัญหาในขั้นทำความเข้าใจปัญหา โดยจัดเรียงลำดับสิ่งของใหม่ เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เช่น

     สิ่งที่โจทย์บอก:
     หากวางเรียงดินสอ 3 แท่ง และยางลบ 5 ก้อนต่อกัน จะวัดความยาวได้ 60 เซนติเมตร
     หากวางเรียงดินสอ 3 แท่ง และยางลบ 9 ก้อนต่อกัน จะวัดความยาวได้ 72 เซนติเมตร

     สิ่งที่โจทย์ถาม: ยางลบมีความยาวก้อนละกี่เซนติเมตร

การหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้
     เขียนแผนภาพบาร์โมเดลแสดงสิ่งที่โจทย์บอกและสิ่งที่โจทย์ถามเพื่อทำให้เห็นภาพและเข้าใจปัญหาได้ง่ายขึ้น ดังนี้

     จากแผนภาพ จะพบว่า ผลต่างของความยาวของบาร์โมเดลสองแท่งเท่ากับความยาวของยางลบ 4 ก้อน หาได้จาก 72 - 60 = 12 นั่นคือ ความยาวของยางลบ 4 ก้อน เท่ากับ 12 เซนติเมตร จะหาความยาวของยางลบแต่ละก้อนได้จาก 12 ÷ 4 = 3 ดังนั้น ยางลบมีความยาวก้อนละ 3 เซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2 นักกีฬาสีฟ้า สีแดง สีเขียว และสีเหลือง แข่งฟุตบอลแบบพบกันหมด (นักกีฬาแต่ละสีจะต้องแข่งฟุตบอลกับสีอื่นทุกสี) ซึ่งในการแข่งขันจะไม่มีการเสมอ ผลการแข่งขันพบว่า สีฟ้าชนะ A ครั้ง สีแดงชนะ B ครั้ง สีเขียวชนะ C ครั้ง และสีเหลืองชนะ D ครั้ง

หา A + B + C + D

(ปรับจาก Ng, 2008, หน้า 29)

     เราอาจใช้ยุทธวิธีการเปลี่ยนรูปประโยคปัญหา ในขั้นทำความเข้าใจปัญหา เมื่อเราทราบว่าการแข่งขันนี้จะไม่มีการเสมอ ดังนั้น จำนวนครั้งที่แข่งชนะทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนครั้งที่แข่งขันทั้งหมดนั่นเอง 

     เราจึงสามารถเปลี่ยน สิ่งที่โจทย์ถาม: หา A + B + C + D หรือจำนวนครั้งที่แข่งชนะทั้งหมด เป็นหาจำนวนครั้งที่แข่งขันทั้งหมด

การหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้

เขียนแจกแจงรายการเพื่อแสดงการแข่งขันแบบพบกันหมด ได้ดังนี้

ฟ้า-แดง ฟ้า-เขียว ฟ้า-เหลือง จำนวนครั้งที่แข่งขัน = 3

แดง-เขียว แดง-เหลือง จำนวนครั้งที่แข่งขัน = 2

เขียว-เหลือง จำนวนครั้งที่แข่งขัน = 1

จะได้ว่า จำนวนครั้งที่แข่งขันทั้งหมด = 3 + 2 + 1 = 6

ดังนั้น A + B + C + D = 6

2. การทำปัญหาให้ง่าย (Simplify the Problem)

     สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เป็นปัญหาใหญ่หรือยากสำหรับผู้เรียน ปัญหานั้นอาจเกี่ยวกับจำนวนที่มากหรือมีความซับซ้อนยากต่อการทำความเข้าใจ ยุทธวิธีการทำปัญหาให้ง่ายจะเป็นการลดความซับซ้อนของปัญหาโดยการปรับเปลี่ยนโจทย์ เช่น อาจแบ่งปัญหาเป็นกรณีย่อย ๆ ที่ง่ายต่อการหาคำตอบ ลดจำนวนที่เกี่ยวข้องในสถานการณ์ปัญหา หรือเปลี่ยนให้ปัญหาอยู่ในรูปที่คุ้นเคย นอกจากนี้ วิธีการหนึ่งในการทำปัญหาให้ง่ายคือ การเปลี่ยนมุมมอง โดยลองเปลี่ยนสถานการณ์ วิธีคิด หรือแนวทางการแก้ปัญหาให้แตกต่างไป เพื่อให้แก้ปัญหาได้ ลองดูตัวอย่างปัญหาที่สามารถใช้ยุทธวิธีการทำปัญหาให้ง่าย ดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3 จากภาพ มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป

(ปรับจาก Ng, 2008 หน้า 48)

เราอาจใช้ยุทธวิธีการทำปัญหาให้ง่ายช่วยในการหาคำตอบ โดยในขั้นทำความเข้าใจปัญหาเราอาจพิจารณาว่ามี รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นไปได้ 5 รูปแบบ จึงสามารถแบ่งปัญหาเป็นกรณีย่อยๆ ได้ 5 กรณี 

การหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้ 

     เราหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละกรณี (รูปแบบของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

จากนั้น หาผลรวมของทุกกรณี จะได้ 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55 

ดังนั้น มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 55 รูป

ตัวอย่างที่ 4 บอยตัดกระดาษเป็นวงกลม มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร บนเส้นผ่านศูนย์กลางมีครึ่งวงกลมที่เท่ากัน 2 รูป ส่วนที่เป็นสีดำมีพื้นที่เท่าใด (กำหนด \(\pi = \frac{22}{7}\))

(สสวท., 2563, หน้า 111)

     เราอาจใช้ยุทธวิธีการทำปัญหาให้ง่าย เปลี่ยนมุมมองให้สามารถหาคำตอบได้ง่ายขึ้นโดยปรับให้มีการย้ายรูปบางส่วน ดังนี้

จะได้ว่าส่วนที่เป็นสีดำเท่ากับครึ่งวงกลมพอดี
ในการหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้

รัศมีของวงกลมยาว r หน่วย

พื้นที่ของรูปวงกลม = πr²

= (22/7) × 7 × 7

= 154 ตารางเซนติเมตร

ส่วนที่เป็นสีดำมีพื้นที่เท่ากับครึ่งวงกลม

154 ÷ 2 = 77

ดังนั้น ส่วนที่เป็นสีดำมีพื้นที่ 77 ตารางเซนติเมตร

3. การแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อย (Solve Part of the Problem)

     ยุทธวิธีการแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อยเป็นการแบ่งปัญหาที่มีความซับซ้อนหลายขั้นตอนเป็นปัญหาย่อย ๆ หรือเป็นส่วน ๆ แล้วแก้ปัญหาแต่ละส่วนแยกจากกัน โดยแก้ส่วนที่ง่ายกว่าก่อน แล้วจึงแก้ปัญหาทั้งหมดขั้นตอนสุดท้าย ซึ่งจะมีประโยชน์กับปัญหาที่ไม่สามารถแก้ปัญหาได้โดยตรงจากข้อมูลที่กำหนดหรือแก้ปัญหาได้ยาก ลองดูตัวอย่างปัญหาที่สามารถใช้ยุทธวิธีการแบ่งเป็นปัญหาย่อย ดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 5 มานะต้องวางตั้งกระป๋องน้ำอัดลมที่มีลักษณะคล้ายทรงกระบอกเพื่อสร้างพีระมิดฐานสามเหลี่ยมที่มีความสูงอย่างน้อย 1 เมตร และกระป๋องน้ำอัดลมที่ใช้มีความสูง 12 เซนติเมตร อยากทราบว่ามานะต้องใช้กระป๋องน้ำอัดลมอย่างน้อยที่สุดกี่กระป๋องจึงจะวางได้ตามที่กำหนด

(ปรับจาก Ng, 2008, หน้า 44)

     เราอาจใช้ยุทธวิธีการแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อย ในขั้นทำความเข้าใจปัญหาพบว่าการจะหาส่วนที่โจทย์ถาม ต้องใช้กระป๋องน้ำอัดลมอย่างน้อยที่สุดกี่กระป๋องจึงจะวางได้ตามที่กำหนด เราต้องหาจำนวนชั้นที่จะวางตั้งกระป๋องน้ำอัดลมให้มีความสูงอย่างน้อย 1 เมตร ก่อน แล้วจึงหาจำนวนกระป๋องน้ำอัดลมที่จะใช้ได้

การหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 หาจำนวนชั้นที่จะวางตั้งกระป๋องน้ำอัดลมให้มีความสูงอย่างน้อย 1 เมตร ซึ่งหาได้จากความสูงที่น้อยที่สุดของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมที่ต้องการ ÷ ความสูงของกระป๋องน้ำอัดลม

100 ÷ 12 = 8.33

ดังนั้น จำนวนชั้นที่จะวางตั้งกระป๋องน้ำอัดลม เท่ากับ 9 ชั้น

ขั้นตอนที่ 2 หาจำนวนกระป๋องน้ำอัดลมที่จะใช้ ซึ่งเราอาจเริ่มจากวาดรูปการวางเรียงกระป๋องน้ำอัดลมในชั้นต่าง ๆ จากมุมมองด้านบน (Top View) และพิจารณาหาแบบรูปของจำนวนกระป๋องน้ำอัดลมที่วางเรียงในแต่ละชั้น ดังนี้

เมื่อหาความสัมพันธ์ของแบบรูปได้แล้ว จะสามารถหาจำนวนกระป๋องน้ำอัดลมได้

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 = 165

ดังนั้น มานะต้องใช้กระป๋องน้ำอัดลมอย่างน้อยที่สุด 165 กระป๋อง จึงจะวางได้ตามที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 6 แม่มีกระถางต้นไม้ที่มีลักษณะและขนาดดังรูป แม่ต้องการใส่ดินให้ต่ำกว่าขอบกระถาง 5 เซนติเมตร ทั้งสองส่วน ถ้าดิน 1 ถุง มีปริมาตร 10,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ต้องใช้ดินอย่างน้อยกี่ถุง

(สสวท., 2563, หน้า 146)

     เราอาจใช้ยุทธวิธีการแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อย ในขั้นทำความเข้าใจปัญหาเราจะพบว่าการจะหาส่วนที่โจทย์ถาม ต้องใช้ดินอย่างน้อยกี่ถุงได้นั้น เราต้องหาปริมาตรของดินที่ต้องใช้ก่อน

การหาคำตอบอาจคิดได้ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 หาปริมาตรของดินที่ต้องใช้ทั้งหมด

เราจะทำปัญหาให้ง่ายโดยแบ่งกระถางออกเป็น 2 ส่วนให้แต่ละส่วนเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จากนั้น 

1) หาความสูงของดินที่ต้องใส่ในกระถางแต่ละส่วน

แม่ต้องการใส่ดินให้ต่ำกว่าขอบกระถาง 5 ซม. ทั้งสองส่วน จะได้ว่า กระถางส่วนที่ 1 ต้องใส่ดิน ให้สูงจากก้นกระถาง 60 - 5 = 55 ซม. กระถางส่วนที่ 2 ต้องใส่ดิน ให้สูงจากก้นกระถาง 25 - 5 = 20 ซม.

2) หาปริมาตรของดินที่ต้องใช้แต่ละส่วน

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสูง กระถางส่วนที่ 1 ต้องใส่ดิน 25 × 25 × 55 = 34,375 ลบ.ซม. กระถางส่วนที่ 2 ต้องใส่ดิน 25 × 32 × 20 = 16,000 ลบ.ซม. จะได้ว่า แม่ต้องใส่ดินในกระถางรวม 34,375 + 16,000 = 50,375 ลบ.ซม.

ขั้นตอนที่ 2 หาจำนวนถุงดินที่ต้องใช้

ดิน 1 ถุง มีปริมาตร 10,000 ลบ.ซม.

ดิน 5 ถุง มีปริมาตร 5 × 10,000 = 50,000 ลบ.ซม. ซึ่งยังไม่เพียงพอสำหรับดินที่ต้องใช้ใส่ในกระถาง

ดิน 6 ถุง มีปริมาตร 6 × 10,000 = 60,000 ลบ.ซม. ซึ่งเพียงพอสำหรับดินที่ต้องใช้ใส่ในกระถาง

ดังนั้น แม่ต้องใช้ดินอย่างน้อย 6 ถุง

     อย่างไรก็ตาม จะพบว่ายุทธวิธีการแบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อยนี้เป็นเรื่องที่ค่อนข้างยากสำหรับผู้เรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจปัญหาที่มีความซับซ้อนแล้วแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาส่วนย่อย ๆ แต่ละส่วนแยกกัน ดังนั้น ในการจัดการเรียนรู้ครูจึงต้องมีบทบาทสำคัญในการช่วยเหลือ แนะนำผู้เรียน โดยอาจตั้งคำถามให้คิด คอยชี้แนะผู้เรียนถึงข้อมูลและข้อจำกัดต่าง ๆ ที่กำหนดในปัญหาเพื่อให้ผู้เรียนสามารถใช้ยุทธวิธีนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ครูควรสร้างโอกาสให้ผู้เรียนฝึกแก้ปัญหาโดยใช้ยุทธวิธีต่าง ๆ จะทำให้ผู้เรียนสามารถนำสิ่งที่เรียนรู้ไปประยุกต์ใช้ในบริบทอื่น ๆ ได้ต่อไป

     ผู้อ่านคงได้เห็นตัวอย่างของการใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาทั้ง 3 ยุทธวิธี ที่จะช่วย “เปลี่ยนปัญหา” ให้ง่ายขึ้น เพื่อให้เราสามารถคิดหาแนวทางในการแก้ปัญหาได้ ซึ่งในการใช้ยุทธวิธีต่าง ๆ เหล่านี้ ผู้เรียนไม่จำเป็นต้องรู้จักชื่อยุทธวิธีหรือต้องสามารถระบุได้ว่าตนเองใช้ยุทธวิธีใดในการแก้ปัญหา แต่สิ่งสำคัญคือผู้เรียนควรมีโอกาสได้เรียนรู้ว่าเราอาจ “เปลี่ยนปัญหา” เดิม หรือปัญหาตั้งต้นให้ต่างไปจากเดิมได้ ไม่ว่าจะเป็นการเปลี่ยนรูปประโยคปัญหาให้เราสามารถทำความเข้าใจปัญหาได้ง่ายขึ้น ปรับเปลี่ยนปัญหาแบ่งเป็นกรณีย่อย ๆ อาจเปลี่ยนใช้จำนวนที่น้อยลงแทนในโจทย์ ปรับเปลี่ยนมุมมองให้กลายเป็นปัญหาที่คุ้นเคย หรือแม้แต่แบ่งปัญหาเป็นปัญหาย่อยเพื่อแก้ปัญหาแต่ละส่วนแยกกัน ซึ่งการเปลี่ยนปัญหาในลักษณะเหล่านี้จะช่วยให้เราเข้าใจปัญหาและสามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้

     นอกจากนี้ จากตัวอย่างจะพบว่า ในการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ นั้น เราอาจใช้ยุทธวิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ ประกอบ เพื่อให้การแก้ปัญหามีประสิทธิภาพ เช่น การวาดภาพ การเขียนบาร์โมเดล การหาแบบรูป ซึ่งในโอกาสต่อไปผู้เขียนจะมาแนะนำยุทธวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ให้กับผู้อ่านเพิ่มเติมอีก

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของนิตยสาร สสวท. ปีที่ 52 ฉบับที่ 251 พฤศจิกายน – ธันวาคม 2567

ผู้อ่านสามารถติดตามบทความที่น่าสนใจเพิ่มเติมได้ที่ นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 251

บรรณานุกรม

Ng, W. L. (2008). Problem Solving Heuristics for Primary School Mathematics: a comprehensive guide. Pearson Education South Asia Pte Limited. 

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เล่มที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพมหานคร: องค์การค้าของ สกสค.