การขจัดเชิงมุม ความเร็ว และความเร่ง

(Angular displacement velocity and acceleration)

จากรูปแสดงวัตถุแข็งเกร็งลักษณะบางมีรูปร่างใด ๆ ในระนาบ xy หมุนรอบแกนที่อยู่กับที่ที่ผ่านจุด O โดยแกนจะตั้งฉากกับระนาบ xy พิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคเพียงอนุภาคเดียวที่จุด P ซึ่งอยู่ห่างจากจุดกำเนิด O เป็นระยะ r และเคลื่อนที่รอบแกนเป็นวงกลมรัศมี r (อนุภาคทุกอนุภาคบน วัตถุแข็งเกร็งจะเคลื่อนที่รอบจุด O เป็นวงกลม)เพื่อความสดวกจึงใช้การกำหนดพิกัดของอนุภาคโดยใช้พิกัดเชิงขั้ว (r,q) โดยการวัดมุม q ทวนเข็มนาฬิกาเริ่มจากทางแกนบวก x จะพบว่ามุม q มีการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา แต่ r มีค่าคงที่ (ในระบบพิกัดฉาก x และ y มีการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา ) เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ไปยังจุด P มันจะเคลื่อนที่ได้ส่วนโค้ง (arc) s ซึ่งมีความสัมพันธ์กับตำแหน่งเชิงมุม q (radian : rad) ดังนี้การวัดค่ามุม Ɵ ที่เป็นธรรมชาติที่สุด คือการวัดในหน่วยเรเดียน (rad)1 รอบวงกลม = 2 ¶ เรเดียนถ้าวัตถุมีการหมุนรอบแกน z ซึ่งเป็นแนวที่ตั้งฉากกับระนาบกระดาษ ตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุจะมีการเปลี่ยนแปลงไป (เมื่อใช้จุด p เป็นตัวแทนของวัตถุ)จะทำให้เกิดการกระจัดเชิงมุมในช่วงเวลา- ขนาดความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของวัตถุหาได้จาก- ขนาดความเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุถ้าเราหาการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่ง เราจะได้ปริมาณที่เรียกว่า ความเร่งเชิงมุม (อ่านว่า อัลฟา)- ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ยของวัตถุหาได้จาก
- ความเร่งเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่ง หาได้จาก
เนื่องจากความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมต่างก็เป็นปริมาณเวกเตอร์เราสามารถหาทิศของความเร็วเชิงมุมได้จากกฎมือขวาโดยกำนิ้วทั้งสี่ไปในทิศที่วัตถุกำลังหมุน ทิศที่นิ้วหัวแม่มือชี้ไปแสดงถึงทิศทางของความเร็วเชิงมุม

เวกเตอร์ของความเร่งเชิงมุมจะมีทิศทางเดียวกับทิศทางของความเร็วเชิงมุมก็ต่อเมื่อขนาดของความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นและความเร่งเชิงมุมจะมีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของความเร็วเชิงมุม เมื่อขนาดของความเร็วเชิงมุมลดลง

การหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงตัวถ้าการหมุนของวัตถุมีความเร็วเชิงมุมต้นที่เวลา t = 0 เป็นที่เวลา t ใด ๆ มีมีความเร็วเชิงมุมเป็น ในช่วงเวลานั้นความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ จะได้สมการการเคลื่อนที่แบบหมุน เมื่อพิจารณาขนาดของปริมาณต่าง ๆ จะได้ (1) ...(2)เมื่อพิจารณาการกระจัดเชิงมุม โดยใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ...(3)เมื่อนำ t จาก (1) แทนใน (3) จะได้ ...(4)เมื่อนำ จากสมการ (2) แทนใน (4) จะได้สมการสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนที่มีแกนหมุนคงที่มีรูปแบบคล้ายกันมากกับสมการการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงที่มีความเร่งคงที่ เมื่อเปรียบเทียบกัน จะได้ดังนี้

โมเมนต์ความเฉื่อย (I)

ลองนึกภาพกำลังหมุนล้อ ถ้าเป็นล้อเบา ๆ เช่น จักรยาน จะรู้สึกว่าออกแรงหมุนได้ง่าย แต่ถ้าเปลี่ยนจากล้อจักรยานมาเป็นล้อของรถสิบล้อ จะรู้สึกว่ามันหมุนยาก ความยากง่ายในการหมุนนี้เกิดจากโมเมนต์ความเฉื่อย I ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยยิ่งมาก ก็จะยิ่งหมุนได้ยากขึ้นนั่นเอง

ในกรณีที่จุดมวล สูตรหาโมเมนต์ความเฉื่อยคือ

I=mr2

โดย m คือมวล และ r คือระยะจากแกนหมุน

นอกจากนี้ถ้ามีจุดมวลหลายก้อนรอบแกน จะได้สูตรคือ

I = ∑ (miri2)

จะสังเกตว่า วัตถุที่มีมวลเท่ากันไม่จำเป็นต้องมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากัน เพราะระยะจากแกนหมุนอาจต่างกัน

ในกรณีที่เป็นมวลก้อนใหญ่หรือวัตถุแข็งเกร็งเช่น ทรงกลม วงแหวน แผ่นจานแบน ก็จะหาโมเมนต์ความเฉื่อยได้จากการจินตนาการว่าก้อนวัตถุเกิดจากจุดมวลหลายจุดรวมกัน แต่การคำนวณต้องใช้คณิตศาสตร์ระดับสูง ดังนี้

ในเรื่องการหมุน เราสามารถกำหนดแกนหมุนได้หลายแกน ดังนั้นต้องกำหนดให้ได้ก่อนว่า มันหมุนรอบแกนไหน เพราะปริมาณทางฟิสิกส์ เช่น โมเมนต์ ความเฉื่อยและทอร์กนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของแกนหมุน

ทฤษฎีแกนขนาน

เป็นทฤษฎีสำหรับช่วยหาโมเมนต์ความเฉื่อย สมมติก้อนวัตถุ M กำลังเคลื่อนหมุนรอบจุด CM ด้วยโมเมนต์ความเฉื่อย ICMจากนั้นเราจะเลื่อนแกนหมุนไปให้ห่างจาก จุด CM เป็นระยะ x จะได้ว่า Inew= ICM+ Mx2

การกลิ้งแบบไม่ไถล

เมื่อเราออกแรงกระทำกับวัตถุ จะเกิดการเคลื่อนที่สองแบบซึ่งเป็นอิสระต่อกัน คือการเลื่อนตำแหน่งแนวตรง และการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล (CM) ของก้อนวัตถุ

1. การเลื่อนตำแหน่งแนวตรง

จะเกิดขึ้นเสมอเมื่อมีแรงกระทำกับวัตถุ คือการที่วัตถุทั้งก้อนเกาะไปด้วยกัน และเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันทั้งหมดด้วยอัตราเร็ว v เท่ากัน ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งเพียงอย่างเดียวก็จะเหมือนกับการเคลื่อนที่ทั่วไป คือทั้งก้อนวัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกัน

2. การหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล

จะเกิดขึ้นเมื่อทอร์กรอบจุด CM ไม่เป็นศูนย์ (แนวแรงไม่ผ่านจุด CM) คือการที่วัตถุแต่ละจุดหมุนรอบ CM ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω เท่ากัน ถ้าวัตถุเคลื่อนที่แบบหมุนเพียงอย่างเดียว (ไม่เลื่อนตำแหน่ง) ก็จะเห็นวัตถุอยู่กับที่ แต่หมุนรอบจุด CM ของตัวเองไปเรื่อย ๆ ทั้งนี้ถ้าเราเลือกจุดมวลที่สนใจมาจุดหนึ่ง เราสามารถมองการหมุนเป็นการเคลื่อนที่แนวงกลมรอบแกนหมุนได้ โดยอัตราเร็วของจุดวัตถุจะมีค่าเป็น v= ωr และมีทิศตามแนวการหมุนของจุดมวลในขณะนั้น ซึ่งจุดมวลแต่ละจุดจะมีระยะ t จาก CM ไม่เท่ากัน จึงทำให้ v ต่างกัน

วัตถุสามารถเลื่อนตำแหน่งอย่างเดียวก็ได้ หรือจะหมุนอย่างเดียวก็ได้ หรือจะเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนตำแหน่งและแบบบหมุนไปพร้อมๆกันก็ได้ ถ้าวัตถุมีทั้งการเลื่อนตำแหน่งและการหมุน ก็จะเรียกว่าการกลิ้ง ซึ่งออกมาในลักษณะที่ว่า จุด CM จะเลื่อนไปเรื่อย ๆ ด้วยอัตราเร็ว v และจุดที่อยู่รอบ ๆ ก็จะหมุนรอบจุด CM ไปในขณะเดียวกัน

การกลิ้งแบบไม่ไถล คือการกลิ้งที่ทำให้ความเร็วลัพธ์ตรงจุดสัมผัสพื้นเท่ากับศูนย์ จุดที่วัตถุสัมผัสพื้น จะมีความเร็วจากการเลื่อนตำแหน่งเท่ากับ v ไปทางขวา และความเร็วจากการหมุน เท่ากับ ωR ไปทางซ้าย ความเร็วรวมคือ v-ωR จากเงื่อนไขที่ทำให้เกิดการกลิ้งแบบไม่ไถล ก็คือความเร็วลัพธ์ v-ωR = 0 ดังนั้นเราจะได้ว่า v= ωR

จากความสัมพันธ์ v= ωR เรายังอาจหาความเร็วรวมที่จุดอื่น ๆ ของวัตถุได้ด้วย เช่นที่จุดบนสุดมีความเร็วจากการเลื่อนตำแหน่งเท่ากับ v ไปทางขวา และความเร็วจากการหมุนเท่ากับไป ωR ไปทางขวา ดังนั้น ความเร็วรวมคือ v+ωR=2v ไปทางขวานั่นเอง

กรณีอื่น ๆ

ωR < vCMหรือพูดอีกแบบได้ว่า กลิ้งครบหนึ่งรอบได้ระยะบนพื้นมากกว่า 2¶R เช่น ขับรถเร้วมาก ๆ และเหยียบเบรคทันที จะมีอยู่ช่วงหนึ่งที่ล้อจะไถลไปข้างหน้า ตัวบ้อไถลไปกับพื้น (ช่วงที่ได้ยินเสียงเอี๊ยดอ๊าด)

ωR > vCMหรือพูดอีกแบบได้ว่า กลิ้งครบหนึ่งรอบได้ระยะบนพื้นน้อยกว่า 2¶R เช่น ช่วงเวลาขับรถตกหลุมโคลน และเหยียบคันเร่งเพื่อให้ล้อขึ้นจากหลุม เป็นต้น

อ้างอิง : หนังสือจบกันทีฟิสิกส์