ฟังก์ชัน 1-1 และ ฟังก์ชันทั่วถึง

          ในหัวข้อก่อนหน้านี้เราได้ศึกษาเกี่ยวกับการสร้างฟังก์ชันเพื่อให้ฟังก์ชันสามารถทำงานได้หรือถูกนิยามไว้ดีแล้วในหัวข้อนี้เราจะศึกษาการสร้างฟังก์ชันให้มีประสิทธิภาพและมีความเหมาะสมโดยเราจะคำนึงถึงเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นหลักเนื่องจากในงานประยุกต์สิ่งที่เราต้องการหรือเป้าหมายของการออกแบบการทำงานคือผลลัพธ์หรือเอาท์พุต

          ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันนั้นประกอบด้วยความสัมพันธ์แบบ one to one และ many to one สมมติให้การทำงานต้องการให้เกิดเอาท์พุต o1 ซึ่งเมื่อพิจารณาพบว่าอินพุต i1 และ i2 ทำให้เกิดเอาท์พุต o1 ถ้าเป้าหมายเราต้องการ o1 การเลือกสมาชิกในเซตของอินพุตหรือโดเมนนั้นอาจเลือก i1 หรือ i2 อย่างใดอย่างหนึ่งก็เพียงพอสำหรับการได้มาซึ่ง o1 เราเรียกฟังก์ชันการทำงานแบบนี้ว่าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (หนึ่งต่อหนึ่ง)  ในทางกลับกันการสร้างฟังก์ชันให้ทำงานได้เรนจ์ของฟังก์ชันถูกสร้างให้ครอบคลุมเอาท์พุตที่เกิดขึ้นก็เพียงพอแต่หากเราต้องการกำหนดทรัพยากรให้เหมาะสมเราควรกำหนดเรนจ์ของฟังก์ชันให้เป็นเซตที่บรรจุเฉพาะเอาท์พุตที่เกิดจากโดเมนเท่านั้นเกิดเป็นแนวคิดของฟังก์ชันทั่วถึง

ภาพการแปลงฟังก์ชันทั่วไปให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
ที่มา วีระ ยุคุณธร

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

          ดังที่กล่าวมาในข้างต้นว่าฟังก์ชันการทำงาน f = { ( i1,o1 ), ( i2,o1 ) } มีโดเมน = { i1, i2 } และมีเรนจ์ = { o1 } ซึ่งเป็นการทำงานที่ซ้ำซ้อนหากเราต้องการเอาท์พุต o1 เราควรเลือกอินพุต i1 หรือ i2 อย่างใดอย่างหนึ่งก็เพียงพอนั้นคือฟังก์ชัน { ( i1,o1 ) } ให้ผลลัพธ์แบบเดียวกันกับ { ( i1,o1 ), ( i2,o1 ) } สรุปได้ว่าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งนั้นเอาท์พุตของฟังก์ชันมาจากอินพุตเพียงค่าเดียวให้นิยามเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

นิยาม ถ้า ( x,z ) และ ( y,z ) เป็นสมาชิกของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว x = y  หรือกล่าวได้ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ f(x) = f(y) แล้ว x = y

ตัวอย่างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กำหนดให้ f(x) = 3x – 1 สมมติให้ f(x) = f(y) เป็นจริงจะต้องแสดงให้ได้ว่า x = y เป็นจริงเช่นเดียวกัน พิจารณา 3x – 1 = 3y -1 จะเห็นได้โดยง่ายว่า x = y ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่ใช้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กำหนดให้ f(x) = x² พิจารณากฎตรรกศาสตร์ให้

                               p -> q เป็นเท็จ สมมูลกับ นิเสธของ p -> q เป็นจริง

                                                   สมมูลกับ นิเสธ ของ นิเสธ p หรือ q เป็นจริง

                                                   สมมูลกับ  p และ นิเสธ q เป็นจริง

เราจะต้องแสดงว่า p เป็นจริง และ นิเสธ q เป็นจริง จากการให้นิเสธ q เป็นจริงนั้นคือให้เลือก x ไม่เท่ากับ y แต่ f(x) = f(y) ในที่นี้เราเลือก x = 2 และ y = -2 เห็นได้โดยง่ายว่า x ไม่เท่ากับ y แต่ f(x) = f(y) เลือก x = 2 และ y = -2 จะได้ว่า f(x) = 2² = 4 = -2² = f(y) ดังนั้น f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ฟังก์ชันทั่วถึง

          การสร้างเรนจ์ของฟังก์ชันโดยเลือกบรรจุเฉพาะเอาท์พุตที่เกิดจากโดเมนเท่านั้น และไม่มีเอาท์พุตใดที่ไม่ใช้ผลลัพธ์ของการทำงานหรือค่าฟังก์ชัน สังเกตว่าหากเราเลือกสมาชิกในเรนจ์ของฟังก์ชันตัวใด ๆมา เราจะต้องสามารถระบุอินพุตที่ทำให้เกิดเอาท์พุตได้ซึ่งให้นิยามเชิงคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

นิยาม เราจะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงถ้า สำหรับ y ซึ่งเป็นสมาชิกใดๆ ในเรนจ์ของฟังก์ชัน (Rf) จะมี x ซึ่งเป็นสมาชิกในโดเมนของฟังก์ชันที่ซึ่ง y = f(x)

ตัวอย่างฟังก์ชันทั่วถึง ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มและเรนจ์เป็นจำนวนเต็มบวก กำหนดโดย       f(x) = |x| จะเห็นว่าไม่ว่าจำนวนเต็มบวก a ใดที่เป็นเรนจ์ของฟังก์ชัน a = |x| เราสามารถหาค่า x ได้นั้นคือ x = a หรือ x = -a ซึ่งเป็นจำนวนเต็มและเป็นสมาชิกในโดเมนของฟังก์ชัน ดังนั้น f จึงเป็นฟังก์ชันทั่วถึง

ตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวกและมีเรนจ์เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง f(x) = 3^x จะเห็นว่า 1 เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นเรนจ์ของฟังก์ชัน แต่ไม่มีจำนวนเต็มบวก x ใดๆ ที่ทำให้ 3^x = 1 ดังนั้น f ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

          หมายถึงฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เมื่อพิจารณาการส่งจะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวในโดเมนจะถูกส่งไปเป็นสมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์และสมนัยเพียงตัวเดียว ในทางกลับกันจะเห็นว่าเราสามารถทำการส่งจากเรนจ์ของฟังก์ชันกับไปยังโดเมนได้ซึ่งสมาชิกตัวในเรนจ์จะถูกส่งไปยังโดเมนแต่ละตัวที่สมนัยกับสมาชิกในเรนจ์เพียงตัวเดียว การส่งกลับนี้รักษาสมบัติการถูกกำหนดไว้ดีแล้วของฟังก์ชันอีกด้วยเราเรียกการส่งกลับนี้ว่าฟังก์ชันผกผัน

          ข้อดีของการออกแบบการทำงานหรือฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงคือระบบใดก็ตามที่มีลักษณะการทำงานแบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงระบบนั้นเราสามารถทำการตรวจสอบหรือยืนยันได้ว่าผลลัพธ์หรือเอาท์พุตที่เกิดขึ้นมานี้ได้มากจากอินพุตใด นอกจากจะเป็นการลดความซ้ำซ้อนของการทำงานและการให้ทรัพยากรที่สิ้นเปลืองแล้วยังสามารถตรวจสอบย้อนกลับได้อีกด้วย กรณีที่โดเมนกับเรนจ์เป็นเซตนับได้เรามีทฤษฎีสำหรับการตรวจสอบดังนี้

ทฤษฎีบท กำหนดให้ D และ R เป็นเซตนับได้ทั้งคู่ซึ่งเป็นโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน f ตามลำดับ

T1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว n(D) น้อยกว่าหรือเท่ากับ n(R)

T2 f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ n(f(A)) น้อยกว่าหรือเท่ากับ n(A)

T3 ถ้า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว n(A) มากกว่าหรือเท่ากับ n(B)

T4 ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแล้ว n(A) เท่ากับ n(B)

หมายเหตุ การตรวจสอบด้วยทฤษฎีจะต้องใช้บทแย้งสลับที่ทางตรรกศาสตร์เป็นส่วนใหญ่

แหล่งที่มา

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

 ฟังก์ชันในคอมพิวเตอร์

           ภาษาโปรแกรมสมัยใหม่จะถูกจัดสรรทรัพยากรในการใช้งานเพื่อการคำนวณและการจัดการข้อมูลไว้มากแต่โดยทั่วไปแล้วมักเป็นฟังก์ชันพื้นฐานที่ถูกใช้อาทิฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกโพเนนเชียล ลอการิทึม และพหุนามเป็นต้นแต่อย่างไรก็ตามหากเราต้องการออกแบบการทำงานหรือการคำนวณที่นอกเหนือจากชุดคำสั่งสำเร็จรูปที่อยู่ในภาษาต่างแล้ว เราสามารถทำการสร้างฟังก์ชันใหม่ได้ในบทเรียนนี้จะศึกษาถึงการสร้างฟังก์ชันคณิตศาสตร์ในภาษาไพทอนซึ่งเป็นภาษาที่เป็นที่นิยมในยุคปัจจุบัน

ภาพอักษรซีซาร์ไซเฟอร์
ที่มา วีระ ยุคุณธร

ฟังก์ชันกับโปรแกรมคอมพิวเตอร์

          การโปรแกรมคอมพิวเตอร์เป็นการสั่งคอมพิวเตอร์ให้ทำงานเพื่อตอบวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ รูปแบบการทำงานที่มีขั้นตอน รูปแบบเป็นแบบเดียวเราจะสร้างฟังก์ชันขึ้นมาสั่งการทำงานคอมพิวเตอร์อาจอยู่ในรูปของโปรแกรมย่อยแต่จะให้ค่าเพียงแค่ค่าเดียว ตัวอย่างโค๊ดการกำหนดฟังก์ชัน

          1 def ชื่อฟังก์ชัน(ตัวแปร)

          2 # นิยาม

          3 return value

          บรรทัดที่ 1 ในการสร้างฟังก์ชันใหม่เราจะต้องตั้งชื่อฟังก์ชันในส่วนของ function_name  และทำการระบุตัวแปรต้นที่เป็นสมาชิกของโดเมนของฟังก์ชันใน args

          บรรทัดที่ 2 การนิยามฟังก์ชันหรือการทำงาน

          บรรทัดที่ 3 การส่งค่ากลับอาจมีหรือไม่มีก็ได้

ตัวอย่างเช่นเราต้องการสร้างฟังก์ชันเพื่อหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

          ขั้นตอนที่ 1 เราต้องทำการสร้างฟังก์ชันเชิงคณิตศาสตร์เสียก่อนโดยกำหนดให้ A เป็นฟังก์ชันการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ต่อมาเราต้องทราบอินพุต หรือ ตัวแปรซึ่งเป็นพารามิเตอร์ที่ใช้ในการคำนวณพื้นที่ในที่นี้ประกอบมี 3 ตัวแปรได้แก่ ความยาวด้านคู่ขนานสองด้าน และ ความสูง แทนด้วย p1,p2,h ตามลำดับ ณ ขั้นตอนนี้เทียบเท่ากับบรรทัดแรกของโปรแกรม

          1 def ชื่อฟังก์ชัน(ตัวแปร) ===> def traparea(p1,p2,h) ===> A(p1,p2,h)

          ขั้นตอนที่ 2 เราจะต้องระบุขั้นตอนการทำงานหรือนิยามในที่นี้คือการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูจากความยาวด้านคู่ขนานสองด้านและความสูงมีสูตรว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2 x ผลบวกด้านคู่ขนาน x สูง

          2 นิยาม  ===> A = 0.5*(p1+p2)*h

         ในที่นี้หากเราให้คำสั่ง traparea(6,4,7) ซึ่งตรงกับสัญลักษณ์คณิตศาสตร์คือ  

         A(6,4,7) = 0.5*(6+4)*7 =35

         โค๊ดฟังก์ชันเพื่อหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

         def traparea(p1,p2,h)

         A = 0.5*(p1+p2)*h

        แต่สำหรับโปรแกรมไพทอนมีฟังก์ชัน Lambda expressions ซึ่งช่วยให้การสร้างฟังก์ชันเพื่อการคำนวณเชิงคณิตศาสตร์มีความสะดวกมากขึ้นมีโค๊ดกระชับดังนี้

         สัญลักษณ์ = lambda กลุ่มตัวแปร : นิยาม

         หากนำมาใช้ในการหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูจะได้

         A = lambda p1, p2, h: 0.5*(p1+p2)*h

        ซึ่งสามารถเรียกใช้งานแบบฟังก์ชันคณิตศาสตร์ได้คือ A(6,4,7)

ฟังก์ชันในงานทางด้านคอมพิวเตอร์

          ฟังก์ชันหนึ่งที่มีบทบาทสำคัญในยุค 4.0 หรือยุคดิจิตอลคือฟังก์ชันแฮชซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบความปลอดภัยเป็นฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอินเวอร์ได้ ระบบความปลอดภัยทางคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนเฉพาะ โดยมีฟังก์ชันเศษตกค้างเป็นฟังก์ชันที่ถูกใช้อย่างมากในงานด้านความปลอดภัยทางคอมพิวเตอร์ ในที่นี้ผู้เขียนจะกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันเศษตกค้างอย่างง่ายในการส่งข้อความรหัสลับ

          กำหนดให้ C เป็นค่าตัวเลขของข้อความลับ และ P เป็นตัวเลขของข้อความปกติ

          การเข้ารหัสคือการเปลี่ยนข้อความปกติให้เป็นข้อความลับจะได้ว่า

          อินพุต : ค่าตัวเลขประจำตัวอักษรของข้อความปกติ (P) และ และกุญแจ (k)

          เอาท์พุต : ค่าตัวเลขประจำตัวอักษรข้อความลับ (C)

          ฟังก์ชันเข้ารหัส: C = (P+k) mod 26

         ตัวอย่างเช่นหากเราต้องการส่งข้อความ HELP

         อินพุต : H = 8, E = 6, L = 12, P = 16, k = 20

         เมื่อทำการเข้ารหัสจะได้

               H = 8   => (8+20) mod 26 = 2                             => B

               E = 6   => (6+20) mod 26  = 0 หรือ 26        => Z

               L = 12  => (12+20) mod 26 = 6                 => F

               P = 16  => (16+20) mod 26 = 10                => J

         เอาท์พุต : BZFJ

         การถอดรหัสคือการเปลี่ยนข้อความปกติให้เป็นข้อความลับจะได้ว่า

         อินพุต : ค่าตัวเลขประจำตัวอักษรของข้อความลับ (Q) และ และกุญแจ (k)

         เอาท์พุต : ค่าตัวเลขประจำตัวอักษรข้อปกติ (P)

         ฟังก์ชันเข้ารหัส: P = (C-k) mod 26

         ตัวอย่างเช่นหากเราต้องการถอดข้อความ BZFJ

         อินพุต : B = 2, Z = 26, F = 6 , J = 10, k = 20

         เมื่อทำการเข้ารหัสจะได้

              B = 2   => (2-20) mod 26 = -18+26 = 8       => H

              Z = 26 => (26-20) mod 26 = 6                   => E

              F = 6   => (6-20) mod 26 = -14+26 = 12     => L

              J = 10  => (10-20) mod 26 = -10+26 =16     => P

          เอาท์พุต : HELP

          การเข้ารหัสถอดรหัสข้างต้นนั้นเป็นการเข้ารหัสถอด รหัสอย่างง่ายเรียกว่า อักษรซีซาร์ไซเฟอร์ นอกจากนี้ยังมีระบบการเข้ารหัสและถอดรหัสอีกหลายรูปแบบและมีความซับซ้อนมากขึ้นเพื่อความปลอดภัยหนึ่งในระบบการเข้ารหัสถอดรหัสที่นิยมเป็นการเข้ารหัสและถอดรหัสบนพื้นฐานทฤษฎีจำนวนถูกพัฒนาขึ้นในปี ค.ศ. 1976–1977 โดย 1) Ronald Rivest  2) Adi Shamir และ 3) Leonard Adleman นักคณิตศาสตร์และนักคอมพิวเตอร์ที่ทำงานใน M.I.T เป็นที่มาของการเข้ารหัสและถอดรหัส RSA

แหล่งที่มา

http://marcuscode.com/lang/python/functions สืบค้นเมื่อ 20 มีนาคม 2562.

Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

Epp S.S. (2011). Discrete mathematics with applications, 4^th edition. Brooks/Cole Cengage Learning.